Giải mục 2 trang 56, 57, 58, 59, 60 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Hoạt động 2

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A A^{'} ⊥ A B$ và $A^{'} A ⊥ A D$ (Hình 8.8)

a) Mặt phẳng $(A B C D)$ có vuông góc với $A^{'} A$ không? Vì sao?

b) Gọi $(α)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $A^{'} A$ . Hãy tìm giao tuyến của $(α)$ với các mặt phẳng $(A A^{'} B^{'} B)$ và $(A^{'} A D D^{'})$ . Từ đó tìm mối quan hệ giữa $(α)$ và mặt phẳng $(A B C D)$

Phương pháp giải:

a) Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

b) Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng là ta tìm được giao tuyến của chúng.

Lời giải chi tiết:

a) Vì ${\begin{cases} A A^{'} ⊥ A B \\ A A^{'} ⊥ A D \\ A B \cap A D = {A} \end{cases} \Rightarrow A A^{'} ⊥ (A B C D)$

b) Vì $(α)$ đi qua $A$ và vuông góc với $A A^{'}$ $\Rightarrow$ $(α)$ trùng với $(A B C D)$

Do đó $(α) \cap (A A^{'} B^{'} B) = A B$

$(α) \cap (A A^{'} D^{'} D) = A D$

Luyện tập 2

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình chữ nhật và $S A$ vuông góc với đáy. Gọi $B^{'}, C^{'}, D^{'}$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên các cạnh $S B, S C, S D$ . Chứng minh $S C ⊥ (A B^{'} D^{'})$ và $A B^{'}, A C^{'}, A D^{'}$ cùng nằm trên một mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Chứng minh $A B^{'} ⊥ (S B C) \Rightarrow A B^{'} ⊥ S C$

Chứng minh $A D^{'} ⊥ (S C D) \Rightarrow A D^{'} ⊥ S C$

Chứng minh ba đường thẳng $A B^{'}, A C^{'}, A D^{'}$ cùng vuông góc với một đường thẳng

Lời giải chi tiết:

+) Ta có $B C ⊥ A B$ (Vì $A B C D$ là hình chữ nhật)

$B C ⊥ S A$ vì $S A ⊥ (A B C D)$

Vì ${\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B)$

Mà $A B^{'} \subset (S A B) \Rightarrow A B^{'} ⊥ B C$

Vì ${\begin{cases} A B^{'} ⊥ S B \\ A B^{'} ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow A B^{'} ⊥ (S B C) \Rightarrow A B^{'} ⊥ S C$

+) Ta có $D C ⊥ A D$ (Vì $A B C D$ là hình chữ nhật)

$D C ⊥ S A$ vì $S A ⊥ (A B C D)$

Vì ${\begin{cases} D C ⊥ A D \\ D C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow D C ⊥ (S A D)$

Mà $A D^{'} \subset (S A D) \Rightarrow A D^{'} ⊥ D C$

Vì ${\begin{cases} A D^{'} ⊥ S D \\ A D^{'} ⊥ D C \end{cases} \Rightarrow A D^{'} ⊥ (S D C) \Rightarrow A D^{'} ⊥ S C$

Vì ${\begin{cases} S C ⊥ A B^{'} \\ S C ⊥ A D^{'} \end{cases} \Rightarrow S C ⊥ (A B^{'} D^{'})$

+) Ta có $A B^{'}, A C^{'}, A D^{'}$ cùng vuông góc với $S C$ suy ra chúng cùng nằm trên mặt phẳng. Mà $S C ⊥ (A B^{'} D^{'})$ nên mặt phẳng đó là $(A B^{'} D^{'})$

Hoạt động 3

Cho hai đường thẳng $a, b$ song song với nhau và mặt phẳng $(α)$ vuông góc với $a$ (Hình 8.13). Hỏi $(α)$ có vuông góc với $b$ không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Sử dụng từ vuông góc đến song song

Lời giải chi tiết:

Ta có ${\begin{matrix} a / / b \\ a ⊥ (α) \end{matrix} \Rightarrow b ⊥ (α)$

Luyện tập 3

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông, $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $S B, S D$ . Chứng minh $H K ⊥ (S A C)$

Phương pháp giải:

Chứng minh $B D ⊥ (S A C)$ và $H K / / B D$ . Từ đó suy ra $H K ⊥ (S A C)$

Lời giải chi tiết:

Ta có $B D ⊥ A C$ (vì $A B C D$ là hình vuông)

$B D ⊥ S A$ vì $S A ⊥ (A B C D)$

Ta có ${\begin{cases} B D ⊥ A C \\ B D ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B D ⊥ (S A C)$ $(1)$

Xét $Δ S A B$ có $A H ⊥ S B$ $\Rightarrow \frac{S H}{S B} = \frac{S H . S B}{S B^{2}} = \frac{S A^{2}}{S B^{2}}$

Xét $Δ S A D$ có $A K ⊥ S D$ $\Rightarrow \frac{S K}{S D} = \frac{S K . S D}{S D^{2}} = \frac{S A^{2}}{S D}$

Mà $S B = S D$ $\Rightarrow \frac{S H}{S B} = \frac{S K}{S D} \Rightarrow H K / / B D$ (áp dụng định lí Ta – lét) $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ , suy ra $H K ⊥ (S A C)$

Luyện tập 4

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thoi, $O$ là giao điểm của $A C$ và $D B$ , $S A = S C$ , $S B = S D$ . Gọi $I, K$ lần lượt là trung điểm của $A B$ và $B C$ . Mặt phẳng $(α)$ chứa $I K$ và song song với $S O$ . Chứng minh $(α) ⊥ B D$

Phương pháp giải:

Chứng minh $(α) / / (S A C)$

Chứng minh $B D ⊥ (S A C)$ từ đó suy ra $B D ⊥ (α)$

Lời giải chi tiết:

Ta có $I K / / A C$ vì $I K$ là đường trung bình của $Δ S A C$ ${\begin{cases} I K / / A C \\ I K \subset (α) \end{cases} \Rightarrow A C / / (α)$

Vì ${\begin{cases} S O / / (α) \\ A C / / (α) \end{cases} \Rightarrow (S A C) / / (α)$

Vì $A B C D$ là hình thoi tâm $O$ nên $A C ⊥ B D$ tại $O$

Xét $Δ S B D$ có $S B = S D$ và $O$ là trung điểm của $B D$ $\Rightarrow S O ⊥ B D$

Vì ${\begin{cases} B D ⊥ A C \\ B D ⊥ S O \end{cases} \Rightarrow B D ⊥ (S A C)$

Mà $(α) / / (S A C) \Rightarrow (α) ⊥ B D$

Luyện tập 5

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông, $S A ⊥ (A B C D)$ . Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$ , $B^{'}$ là hình chiếu của $A$ trên $S B$ , $O^{'}$ là hình chiếu của $O$ trên $S C$ . Chứng minh $A B^{'} / / (O^{'} B D)$

Phương pháp giải:

$A B^{'} / / (O^{'} B D)$

Lời giải chi tiết:

Ta có $A C ⊥ B D$ (giả thiết)

Vì $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ B D$

Vì ${\begin{cases} B D ⊥ A C \\ B D ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B D ⊥ (S A C) \Rightarrow B D ⊥ S C$

Vì ${\begin{cases} O O^{'} ⊥ S C (g t) \\ B D ⊥ S C \end{cases} \Rightarrow S C ⊥ (O^{'} B D)$

+) Ta có ${\begin{cases} B C ⊥ A B (g t) \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ A B^{'}$

Ta có ${\begin{cases} A B^{'} ⊥ B C \\ A B^{'} ⊥ S B \end{cases} \Rightarrow A B^{'} ⊥ (S B C) \Rightarrow A B^{'} ⊥ S C$

Vì ${\begin{cases} A B^{'} ⊥ S C \\ (O^{'} B D) ⊥ S C \end{cases} \Rightarrow A B^{'} / / (O^{'} B D)$