Giải mục 2 trang 56, 57, 58, 59, 60

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 56 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian, cho 2 vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Lấy một điểm A tùy ý.

a) Vẽ $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$.

b) Tổng của 2 vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng vec tơ nào trong Hình 4?

Phương pháp giải:

a) Ghi rõ các bước để vẽ hình.

b) Áp dụng quy tắc 3 điểm $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Lời giải chi tiết:

a)

– Qua A vẽ một đường thẳng song song với $\vec{a}$. Trên đường thẳng đó lấy điểm B sao cho $AB=\left|\vec{a}\right|$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng với $\vec{a}$.

– Qua B vẽ một đường thẳng song song với $\vec{b}$. Trên đường thẳng đó lấy điểm C sao cho $BC=\left|\vec{b}\right|$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng với $\vec{b}$.

b) Ta có: $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 56 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm.

Lời giải chi tiết:

Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$.

Do đó $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$

$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$ (đpcm).

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 57 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (Hình 6). Tìm liên hệ giữa $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AC}$; $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. 

Từ đó, hãy suy ra rằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Xét hình bình hành ABCD:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (1)

Xét hình bình hành ACCA':

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 57 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{B^{\prime }D}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc hình hộp.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$; $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}$ (các vecto cùng hướng và cùng độ dài).

Suy ra $\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }D}$ (theo quy tắc hình hộp).

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 59 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian, cho hai vecto $\vec{a}$, $\vec{b}$. Lấy một điểm M tùy ý.

a) Vẽ $\overrightarrow{MA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{MB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{-b}$.

b) Tổng của hai vecto $\vec{a}$ và $\overrightarrow{-b}$ bằng vecto nào trong Hình 7?

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

$\vec{a}$ + ($-\vec{b})=$ $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MN}$ (quy tắc hình bình hành).

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 57 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}-\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}-\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc hình hộp.

Lời giải chi tiết:

$\overrightarrow{B{B}^{\prime }}-\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}-\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$

$=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ (theo quy tắc hình hộp).

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 58 SGK Toán 12 Cánh diều

Nêu định nghĩa tích của một số thực $k\ne 0$ và vecto $\vec{a}\ne \vec{0}$ trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Cho số thực $k\ne 0$ và $vecto\vec{a}\ne \vec{0}$. Tích của số k với vecto $\vec{a}$ là một vecto, kí hiệu là $k\vec{a}$ được xác định như sau:

- Cùng hướng với vecto $\vec{a}$ nếu k > 0, ngược hướng với vecto $\vec{a}$ nếu k < 0.

- Có độ dài bằng $\left|k\right|.\left|\vec{a}\right|$.

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 58 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC, I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)$.

b) $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất ba điểm, khái niệm các vecto bằng nhau, vecto đối nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC nên $\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{DM}$, $\overrightarrow{NB}=-\overrightarrow{NC}$.

Ta có $\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NC}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(-\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NC}\right)=\frac{1}{2}.2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MN}$ (đpcm).

b) Vì $\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{DM}\iff \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}$; $\overrightarrow{NB}=-\overrightarrow{NC}\iff \overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$.

Mặt khác, I là trung điểm của MN nên $\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{0}$.

Ta có $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}$

$=\left(\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{MA}\right)+\left(\overrightarrow{IN}+\overrightarrow{NB}\right)+\left(\overrightarrow{IN}+\overrightarrow{NC}\right)+\left(\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{MD}\right)$

$=\left(2\overrightarrow{IM}+2\overrightarrow{IN}\right)+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}\right)+\left(\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}\right)$

$=2\left(\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}\right)+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=2\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$ (đpcm).

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 59 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian, cho hai vecto $\vec{a}$, $\vec{b}$ khác $\vec{0}$. Lấy một điểm O tùy ý.

a) Vẽ hai vecto $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$.

b) Khi đó, hai vecto $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ có giá nằm trong cùng mặt phẳng (P) (Hình 10). Nêu định nghĩa góc giữa hai vecto $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ trong mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết:

Trong không gian, cho hai vecto $\vec{a},\vec{b}$ khác $\vec{0}$. Lấy một điểm O tùy ý và vẽ hai vecto $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$. Góc giữa hai vecto $\vec{a}$, $\overrightarrow{b}$ trong không gian, ký hiệu $\left(\vec{a},\vec{b}\right)$ là góc giữa hai vecto $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$.

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 59 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Hãy tính góc giữa hai vecto $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{BD}$.

Phương pháp giải:

Đưa về tìm góc giữa hai vecto chung gốc.

Lời giải chi tiết:

Vì ABCD là tứ diện đều nên tam giác BCD đều, suy ra $\widehat{CBD}={60}^o$.

Vì M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó MN // BC.

Vì $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng nên $\left(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{BD}\right)=\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}\right)=\widehat{CBD}={60}^o$.

HĐ7

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 59 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 3cm (Hình 12).

a) Tính góc giữa hai vecto $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$.

b) Tính $\left|\overrightarrow{AC}\right|.\left|\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}\right|.\cos (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$).

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc 3 điểm và vecto trong không gian.

Lời giải chi tiết:

Ta có A’D’ // AD, suy ra góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$ chính là góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AD}$ hay $\widehat{CAD}$.

a) ABCD là hình vuông nên $\widehat{CAD}={45}^{\circ }$.

b) $\overrightarrow{\left|AC\right|}.|\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }|}=AC.AD=3.3=9$.

$cos(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }})=cos(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})$

$=\frac{\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}}{\overrightarrow{\left|AC\right|}.\overrightarrow{\left|AD\right|}}=\frac{3.3}{3.3}=1$.

LT7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 60 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính $\overrightarrow{A^{\prime }B}.\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$; $\overrightarrow{D^{\prime }A}.\overrightarrow{BC}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Lời giải chi tiết:

* Tính $\overrightarrow{A^{\prime }B}.\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$.

Ta có $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ nên $\left(\overrightarrow{A^{\prime }B},\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}\right)=\left(\overrightarrow{A^{\prime }B},\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}\right)=\widehat{B{A}^{\prime }{B}^{\prime }}={45}^o$ (vì ABB’A’ là hình vuông).

Mặt khác, A’B là đường chéo hình vuông cạnh a nên $A^{\prime }B=a\sqrt{2}$.

Do đó $\overrightarrow{A^{\prime }B}.\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=A^{\prime }B.D^{\prime }{C}^{\prime }.\cos \left(\overrightarrow{A^{\prime }B},\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}\right)$

$=A^{\prime }B.D^{\prime }{C}^{\prime }.\cos \widehat{B{A}^{\prime }{B}^{\prime }}=a\sqrt{2}.a.\cos {45}^o=a^2$.

* Tính $\overrightarrow{D^{\prime }A}.\overrightarrow{BC}$.

Ta có $\overrightarrow{D^{\prime }A}.\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{A{D}^{\prime }}.\overrightarrow{BC}$.

Mặt khác $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$ nên $\left(\overrightarrow{A{D}^{\prime }},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{B{C}^{\prime }},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{CB{C}^{\prime }}={45}^o$ (vì BCC’B’ là hình vuông).

Do đó $\overrightarrow{D^{\prime }A}.\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{A{D}^{\prime }}.\overrightarrow{BC}=-A{D}^{\prime }.BC.\cos \left(\overrightarrow{A{D}^{\prime }},\overrightarrow{BC}\right)$

$=-a\sqrt{2}.a.\cos {45}^o=-a^2$.