Giải mục 2 trang 57, 58, 59 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 57 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ có cùng độ dài bằng $| k t | . | \vec{u} |$ .

b) Nếu $k t \geq 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$ .

c) Nếu $k t < 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$ .

d) Hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ bằng nhau.

Phương pháp giải:

Vecto $k \vec{a}$ (với $k > 0, \vec{a} \neq \vec{0}$ ) cùng hướng với vecto $\vec{a}$ và có độ đài bằng $k | \vec{a} |$ .

Vecto $k \vec{a}$ (với $k < 0, \vec{a} \neq \vec{0}$ ) ngược hướng với vecto $\vec{a}$ và có độ đài bằng $| k | | \vec{a} |$ .

Lời giải chi tiết:

a) Hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ có cùng độ dài bằng $| k t | . | \vec{u} |$ .

Ta có: $| t \vec{u} | = | t | | \vec{u} |$

$\Rightarrow | k (t \vec{u}) | = | k | | (t \vec{u}) | = | k | . | t | | \vec{u} | = | k t | | \vec{u} |$ .

Và $| (k t) \vec{u} | = | k t | | \vec{u} |$ .

$\Rightarrow | k (t \vec{u}) | = | (k t) \vec{u} | = | k t | | \vec{u} |$ .

b) Nếu $k t \geq 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$ .

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: $k \geq 0, t \geq 0$ .

Vecto $k (t \vec{u})$ cùng hướng với vecto $t \vec{u}$ (vì $k \geq 0$ ), mà vecto $t \vec{u}$ cùng hướng với vecto $\vec{u}$ (vì $t \geq 0$ ).

Do đó vecto $k (t \vec{u})$ cùng hướng với vecto $\vec{u}$ .

Trường hợp 2: $k < 0, t < 0$ .

Vecto $k (t \vec{u})$ ngược hướng với vecto $t \vec{u}$ (vì $k < 0$ ), mà vecto $t \vec{u}$ ngược hướng với vecto $\vec{u}$ (vì $t < 0$ ).

Do đó vecto $k (t \vec{u})$ cùng hướng với vecto $\vec{u}$ .

Vậy vecto $k (t \vec{u})$ luôn cùng hướng với vecto $\vec{u}$ nếu $k t \geq 0$ .

Lại có: $k t \geq 0$ nên $(k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$ .

Vậy $k t \geq 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$ .

c) Nếu $k t < 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$ .

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: $k > 0, t < 0$ .

Vecto $k (t \vec{u})$ cùng hướng với vecto $t \vec{u}$ (vì $k > 0$ ), mà vecto $t \vec{u}$ ngược hướng với vecto $\vec{u}$ (vì $t < 0$ ).

Do đó vecto $k (t \vec{u})$ ngược hướng với vecto $\vec{u}$ .

Trường hợp 2: $k < 0, t > 0$ .

Vecto $k (t \vec{u})$ ngược hướng với vecto $t \vec{u}$ (vì $k < 0$ ), mà vecto $t \vec{u}$ cùng hướng với vecto $\vec{u}$ (vì $t > 0$ ).

Do đó vecto $k (t \vec{u})$ ngược hướng với vecto $\vec{u}$ .

Vậy vecto $k (t \vec{u})$ luôn ngược hướng với vecto $\vec{u}$ nếu $k t < 0$ .

Lại có: $k t < 0$ nên $(k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$ .

Vậy $k t < 0$ thì cả hai vecto $k (t \vec{u})$ , $(k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$ .

d) Từ ý b) và c), ra suy ra hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ luôn cùng hướng.

Theo câu a) ta có: $| k (t \vec{u}) | = | (k t) \vec{u} | = | k t | | \vec{u} |$ .

$\Rightarrow$ Hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ bằng nhau.

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 57 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vecto $3 (\vec{u} + \vec{v})$ và $3 \vec{u} + 3 \vec{v}$ . Từ đó, nêu mối quan hệ giữa $3 (\vec{u} + \vec{v})$ và $3 \vec{u} + 3 \vec{v}$ .

Lời giải chi tiết:

Kí hiệu O, E, F là các điểm như trên hình vẽ.

Dễ thấy: tứ giác OEMF là hình bình hành nên $\vec{O E} + \vec{O F} = \vec{O M}$ hay $\vec{v} + \vec{u} = \vec{O M}$ .

Và $\vec{O C} = 3. \vec{O M} \Rightarrow 3 (\vec{v} + \vec{u}) = 3. \vec{O M} = \vec{O C}$ .

Mặt khác: $\vec{O A} = 3. \vec{O F} = 3 \vec{u}; \vec{O B} = 3. \vec{O E} = 3 \vec{v}$ .

Và $\vec{O B} + \vec{O A} = \vec{O C}$ hay $3 \vec{v} + 3 \vec{u} = \vec{O C}$ .

$\Rightarrow 3 (\vec{v} + \vec{u}) = 3 \vec{v} + 3 \vec{u}$ .

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 57 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm O tùy ý, ta có

$\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 3 \vec{O G}$ .

Phương pháp giải:

G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\vec{G B} + \vec{G A} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Với 3 điểm A, B, C bất kì, ta luôn có $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\vec{O A} = \vec{O G} + \vec{G A}$ ; $\vec{O B} = \vec{O G} + \vec{G B}$ ; $\vec{O C} = \vec{O G} + \vec{G C}$

$\Rightarrow \vec{O B} + \vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O G} + \vec{G A} + \vec{O G} + \vec{G B} + \vec{O G} + \vec{G C}$

$\Leftrightarrow \vec{O B} + \vec{O A} + \vec{O C} = 3 \vec{O G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C})$ .

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\vec{G B} + \vec{G A} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

$\Rightarrow \vec{O B} + \vec{O A} + \vec{O C} = 3 \vec{O G} + \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{O B} + \vec{O A} + \vec{O C} = 3 \vec{O G}$ .

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 57 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vecto $\vec{u}$ , $\vec{v}$ theo hai vecto $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , tức là tìm các số $x, y, z, t$ để $\vec{u} = x \vec{a} + y \vec{b}$ , $\vec{v} = t \vec{a} + z \vec{b}$ .

Phương pháp giải:

Phân tích vecto $\vec{u}, \vec{v}$ theo hai vecto $\vec{a}, \vec{b}$ cho trước.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Dựng hình bình hành có cạnh song song với giá của vecto $\vec{a}, \vec{b}$ và đường chéo là vecto $\vec{u}, \vec{v}$ .

Ta dựng được hình hình hành ABCD và DEGH. Trong đó: DC và DE nằm trên giá của vecto $\vec{a}$ , DA và DH nằm trên giá của vecto $\vec{b}$ , còn vecto $\vec{u}, \vec{v}$ lần lượt là hai dường chéo.

Dễ thấy: $\vec{u} = \vec{D A} + \vec{D C}, \vec{v} = \vec{D H} + \vec{D E}$ .

Mà $\vec{D A} = 2 \vec{b}, \vec{D C} = \vec{a}, \vec{D H} = 3 \vec{b}, \vec{D E} = - 2 \vec{a}$ .

$\Rightarrow \vec{u} = 2 \vec{b} + \vec{a}, \vec{v} = 3 \vec{b} - 2 \vec{a}$ .