Giải mục 2 trang 6, 7, 8, 9 Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh diều

Hoạt động 2

Cho vectơ $⃗ u$ và điểm M trong mặt phẳng. Hãy xác định điểm M' trong mặt phẳng sao cho $- -- \to M M^{'} = ⃗ u$ (Hình 3).

Phương pháp giải:

Quan sát hình 3, xác định điểm M' thỏa mãn $- -- \to M M^{'} = ⃗ u$

Lời giải chi tiết:

Cách xác định điểm M' trong mặt phẳng sao cho: $- -- \to M M^{'} = ⃗ u$

- Qua M kẻ đường thẳng d song song với giá của vectơ (hoặc trùng với giá của vectơ $⃗ u$ nếu điểm M thuộc giá của vectơ $⃗ u$ ).

- Trên đường thẳng d, lấy điểm M' sao cho $M M^{'} = (⃗ u)$ , và hướng từ M đến M' cùng hướng với vectơ $⃗ u$ . (Tham khảo Hình 3)

Luyện tập 1

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Xác định ảnh của các điểm N, P, C, A, M qua phép tịnh tiến theo vectơ $- - \to O A .$

Phương pháp giải:

Cho vectơ $\to u$ , phép tịnh tiến theo vectơ $\to u$ là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho $- -- \to M M^{'} = \to u$ .

Lời giải chi tiết:

+ Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MN // AC và MN = AC. Do đó, $- -- \to N M = \frac{1}{2} - - \to C A (1)$ .Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC, do đó $O A = \frac{1}{2} A C$ . Suy ra $- - \to O A = \frac{1}{2} - - \to C A$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $- -- \to N M = - - \to O A (3)$

Vậy ảnh của điểm N qua phép tịnh tiến theo vectơ $- - \to O A$ là điểm M.

+ Vì P và Q lần lượt là trung điểm của CD và DA nên PQ là đường trung bình của tam giác ADC, suy ra PQ // AC và $P Q = \frac{1}{2} A C$ . Do đó, $- - \to P Q = \frac{1}{2} - - \to C A$ (4)

Từ (2) và (4) suy ra $- - \to P Q = - - \to O A$

Vậy ảnh của điểm P qua phép tịnh tiến theo vectơ $- - \to O A$ là điểm Q.

+ Vì O là trung điểm của AC nên $- - \to C O = - - \to O A$ .

Vậy ảnh của điểm C qua phép tịnh tiến theo vectơ $- - \to O A$ là điểm O.

+ Lấy điểm E đối xứng với điểm O qua điểm A, khi đó A là trung điểm của OE.

Suy ra $- - \to A E = - - \to O A$ .

Vậy ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ $- - \to O A$ là điểm E.

+ Lấy điểm F đối xứng với điểm N qua điểm M, khi đó M là trung điểm của NF.

Suy ra $- -- \to N M = - - \to M F (5)$

Từ (3) và (5) suy ra $- - \to M F = - - \to O A$ .

Vậy ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ $- - \to O A$

Hoạt động 3

Cho phép tịnh tiến $T_{⃗ u}$ và hai điểm M, N. Giả sử $M^{'} = T_{⃗ u} (M), N^{'} = T_{⃗ u} (N)$

a) Biểu diễn các vectơ $- -- \to M M^{'}$ và $- -- \to N N^{'}$ theo $⃗ u$ .

b) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $- --- \to M^{'} N^{'}$ và $- -- \to M N$ .

c) So sánh các đoạn thẳng M'N' và MN.

Phương pháp giải:

+ Cho vectơ $\to u$ , phép tịnh tiến theo vectơ $\to u$ là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho $- -- \to M M^{'} = \to u$ .

+ Dựa vào quy tắc 3 điểm để làm

Lời giải chi tiết:

a) Vì $M^{'} = T_{⃗ u} (M)$ nên $- -- \to M M^{'} = ⃗ u$ .

Vì $N^{'} = T_{⃗ u} (N)$ nên $- -- \to N N^{'} = ⃗ u$ .

b) Theo quy tắc ba điểm ta có:

$- -- \to M N = - -- \to M M^{'} + - -- \to M^{'} N = - -- \to M M^{'} + - --- \to M^{'} N^{'} + - -- \to N^{'} N = ⃗ u + - --- \to M^{'} N^{'} + (- - -- \to N N^{'}) = ⃗ u + - --- \to M^{'} N^{'} + (- ⃗ u) = - --- \to M^{'} N^{'}$ Vậy $- -- \to M N = - --- \to M^{'} N^{'}$ .

c) Vì $- -- \to M N = - --- \to M^{'} N^{'}$ nên MN = M'N'.

Hoạt động 4

Xét phép tịnh tiến theo vectơ $- -- \to M N$ (Hình 5).

a) Xác định các điểm A', B', C' lần lượt là ảnh của các điểm thẳng hàng A, B, C qua phép tịnh tiến trên.

b) Nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.

Phương pháp giải:

Cho vectơ $\to u$ , phép tịnh tiến theo vectơ $\to u$ là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho $- -- \to M M^{'} = \to u$ .

Lời giải chi tiết:

a) Vì A', B', C' lần lượt là ảnh của các điểm A, B, C qua phép tịnh tiến theo vectơ $- -- \to M N$ nên ta xác định các điểm A', B', C' bằng cách lấy các điểm đó thỏa mãn: $- - \to A A^{'} = - -- \to M N, - - \to B B^{'} = - -- \to M N, - - \to C C^{'} = - -- \to M N$ (như hình vẽ trên).

b) Vì $- - \to A A^{'} = - -- \to M N, - - \to B B^{'} = - -- \to M N$ nên $- - \to A A^{'} = - - \to B B^{'}$ , suy ra ABB'A' là hình bình hành.

Do đó, $- - \to A B = - -- \to A^{'} B^{'} (1)$

Vì $- - \to A A^{'} = - -- \to M N, - - \to C C^{'} = - -- \to M N$ nên $- - \to A A^{'} = - - \to C C^{'}$ , suy ra ACC'A' là hình bình hành.

Do đó, $- - \to A C = - -- \to A^{'} C^{'} (2)$

Vì A, B, C là 3 điểm thẳng hàng với B nằm giữa A và C nên $- - \to A B = k - - \to A C (k \neq 0)$ (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra $- -- \to A^{'} B^{'} = k - -- \to A^{'} C^{'}$

Vậy ba điểm A', B', C' thẳng hàng với B' nằm giữa A' và C'.

Luyện tập 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O(0; 0) và bán kính R = 3. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ $⃗ u = (3; 4)$

Phương pháp giải:

Xác định ảnh của tâm O qua phép tịnh tiến bằng cách:

Nếu $M^{'} (x^{'}; y^{'})$ là ảnh của $M (x; y)$ qua phép tịnh tiến $T_{\to u}$ , $\to u = (a; b)$ thì biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là

Sau đó xác định ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến.

Lời giải chi tiết:

Ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ là một đường tròn bán kính bằng 3, gọi là (C').

Gọi O' là tâm của (C'). Ta có O' là ảnh của O qua phép tịnh tiến theo vectơ nên . Suy ra O'(3; 4).

Vậy ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C') có tâm O'(3; 4), bán kính bằng 3.