Giải mục 2 trang 6, 7

HĐ 2

a) Tìm tất cả các số thực x sao cho x² = 4.

b) Tìm tất cả các số thực x sao cho x³ = -8.

Câu hỏi: Số âm có căn bậc chẵn không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Đưa 2 vế về cùng số mũ thì cơ số bằng nhau.

Câu hỏi: dựa vào khái niệm căn bậc chẵn của một số.

Lời giải chi tiết:

a) $x^2=4=2^2={\left(-2\right)}^2\iff x=\pm 2$.

b) $x^3=-8={\left(-2\right)}^3\iff x=-2$.

Câu hỏi:

Trong toán học, căn bậc chẵn của một số là một số lớn hơn 0. Do đó số âm không có căn bậc chẵn.

LT 2

Tính:

a) $\sqrt[3]{3-125}$;

b) $\sqrt[4]{4\frac{1}{81}}$.

Phương pháp giải:

Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu bⁿ = a.

Lời giải chi tiết:

a) $\sqrt[3]{3-125}=\sqrt[3]{3{\left(-5\right)}^3}=-5$.

b) $\sqrt[4]{4\frac{1}{81}}=\sqrt[4]{4{\left(\frac{1}{3}\right)}^4}=\frac{1}{3}$.

HĐ 3

a) Tính và so sánh: $\sqrt[3]{3-8}.\sqrt[3]{327}$ và $\sqrt[3]{3\left(-8\right).27}$.

b) Tính và so sánh: $\frac{\sqrt[3]{3-8}}{\sqrt[3]{327}}$ và $\sqrt[3]{3\frac{-8}{27}}$.

Phương pháp giải:

Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu bⁿ = a.

Lời giải chi tiết:

a) $\sqrt[3]{3-8}.\sqrt[3]{327}=\sqrt[3]{3{\left(-2\right)}^3}.\sqrt[3]{33^3}=-2.3=-6$.

$\sqrt[3]{3\left(-8\right).27}=\sqrt[3]{3-216}=\sqrt[3]{3{\left(-6\right)}^3}=-6$.

$\Rightarrow \sqrt[3]{3-8}.\sqrt[3]{327}=\sqrt[3]{3\left(-8\right).27}$.

b) $\frac{\sqrt[3]{3-8}}{\sqrt[3]{327}}=\frac{\sqrt[3]{3{\left(-2\right)}^3}}{\sqrt[3]{33^3}}=\frac{-2}{3}$.

$\sqrt[3]{3\frac{-8}{27}}=\sqrt[3]{3{\left(\frac{-2}{3}\right)}^3}=\frac{-2}{3}$.

$\Rightarrow \frac{\sqrt[3]{3-8}}{\sqrt[3]{327}}=\sqrt[3]{3\frac{-8}{27}}$.

LT 3

Tính:

a) $\sqrt[3]{35}:\sqrt[3]{3625}$;

b) $\sqrt[5]{5-25\sqrt{5}}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\frac{\sqrt[n]{na}}{\sqrt[n]{nb}}=\sqrt[n]{n\frac{a}{b}}$; ${\left(\sqrt[n]{na}\right)}^n=a$.

Lời giải chi tiết:

a) $\sqrt[3]{35}:\sqrt[3]{3625}=\sqrt[3]{3\frac{5}{625}}=\sqrt[3]{3\frac{1}{125}}=\sqrt[3]{3{\left(\frac{1}{5}\right)}^3}=\frac{1}{5}$.

b) $\sqrt[5]{5-25\sqrt{5}}=\sqrt[5]{5{\left(-\sqrt{5}\right)}^5}=-\sqrt{5}$.

HĐ 4

Cho a là một số thực dương.

a) Với n là số nguyên dương, hãy thử định nghĩa $a^{\frac{1}{n}}$ sao cho ${\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^n=a$.

b) Từ kết quả của câu a, hãy thử định nghĩa $a^{\frac{m}{n}},$ với m là số nguyên và n là số nguyên dương, sao cho $a^{\frac{m}{n}}={\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m$.

Câu hỏi: Vì sao trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ lại cần điều kiện cơ số a > 0?

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ${\left(\sqrt[n]{na}\right)}^n=a$.

Câu hỏi: Lấy ví dụ để chứng minh nếu $a\le 0$ dẫn đến mâu thuẫn.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: ${\left(\sqrt[n]{na}\right)}^n=a$ mà ${\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^n=a$ nên ${\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^n=\sqrt[n]{na}\Rightarrow a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{na}$.

b) Theo câu a ta có $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{na}$ mà $a^{\frac{m}{n}}={\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m$ nên $a^{\frac{m}{n}}={\left(\sqrt[n]{na}\right)}^m=\sqrt[n]{n{a}^m}$.

Câu hỏi: 

+ Giả sử định nghĩa lũy thừa với số mũ r là đúng với a < 0.

Xét lũy thừa $(-1{)}^{\frac{1}{3}}$. Theo định nghĩa ta có $(-1{)}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{3(-1{)}^1}=-1$.

Mặt khác, do $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ nên $(-1{)}^{\frac{1}{3}}=(-1{)}^{\frac{2}{6}}$. Áp dụng định nghĩa ta lại có $(-1{)}^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{6(-1{)}^2}=1$.

Như vậy, từ định nghĩa ta chứng minh được $-1=1$.

$-1=\sqrt[3]{3-1}=(-1{)}^{\frac{1}{3}}=(-1{)}^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{6(-1{)}^2}=1$.

Có thể nói, trong tình huống này định nghĩa với cơ số âm đã tự mâu thuẫn.

+ Lũy thừa có số mũ hữu tỉ với cơ số a = 0 thì dẫn đến vô nghĩa nếu mũ âm. Ví dụ $0^{\frac{-1}{2}}=\sqrt{0^{-1}}=\sqrt{\frac{1}{0}}$.

Như vậy trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ cần điều kiện cơ số a > 0.

LT 4

Rút gọn biểu thức: $A=\frac{x^{\frac{3}{2}}y+x{y}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\left(x,y>0\right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{na}$.

Lời giải chi tiết:

$A=\frac{x^{\frac{3}{2}}y+x{y}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{xy\left(x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}\right)}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}}=xy$.