Giải mục 2 trang 61, 62, 63, 64 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 61 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\vec{u} = (2; - 3), \vec{v} = (4; 1), \vec{a} = (8; - 12)$ .

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{a}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ .

b) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{u} + \vec{v}, 4. \vec{u}$ .

c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{a}$ .

Phương pháp giải:

a) Vectơ $\vec{a}$ có tọa độ (x;y) thì $\vec{a} = x . \vec{i} + y . \vec{j}$ .

b)

Bước 1: Tính $\vec{u} + \vec{v}, 4. \vec{u}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ .

Bước 2: Suy ra tọa độ của các vectơ $\vec{u} + \vec{v}, 4. \vec{u}$ .

c)

Quan sát biểu thị theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ của các vectơ $\vec{u}, \vec{a}$ để suy ra mối liên hệ.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\vec{u} = (2; - 3)$ .

$\Rightarrow \vec{u} = 2. \vec{i} + (- 3) . \vec{j}$ .

Tương tự ta có: $\vec{v} = (4; 1), \vec{a} = (8; - 12)$ .

$\Rightarrow \vec{v} = 4. \vec{i} + 1. \vec{j}; \vec{a} = 8. \vec{i} + (- 12) . \vec{j}$ .

b) Ta có: ${\begin{cases} \vec{u} = 2. \vec{i} + (- 3) . \vec{j} \\ \vec{v} = 4. \vec{i} + 1. \vec{j} \end{cases}$ (theo câu a).

$\begin{array}{l} \Rightarrow {\begin{cases} \vec{u} + \vec{v} = (2. \vec{i} + (- 3) . \vec{j}) + (4. \vec{i} + 1. \vec{j}) \\ 4. \vec{u} = 4 (2. \vec{i} + (- 3) . \vec{j}) \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} \vec{u} + \vec{v} = (2. \vec{i} + 4. \vec{i}) + ((- 3) . \vec{j} + 1. \vec{j}) \\ 4. \vec{u} = 4.2. \vec{i} + 4. (- 3) . \vec{j} \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} \vec{u} + \vec{v} = 6. \vec{i} + (- 2) . \vec{j} \\ 4. \vec{u} = 8. \vec{i} + (- 12) . \vec{j} \end{cases} \end{array}$

c) Vì ${\begin{cases} 4. \vec{u} = 8. \vec{i} + (- 12) . \vec{j} \\ \vec{a} = 8. \vec{i} + (- 12) . \vec{j} \end{cases}$ nên ta suy ra $4. \vec{u} = \vec{a}$ .

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 62 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $M (x_{o}; y_{o})$ . Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành Ox và trục tung Oy (H.4.35).

a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biểu thị $\vec{O P}$ theo $\vec{i}$ và tính độ dài của $\vec{O P}$ theo $x_{o}$ .

b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị $\vec{O Q}$ theo $\vec{j}$ và tính độ dài của $\vec{O Q}$ theo $y_{o}$ .

c) Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài của $\vec{O M}$ theo $x_{o}, y_{o} .$

d) Biểu thị $\vec{O M}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ .

Phương pháp giải:

a) P biểu diễn hoành độ của điểm M.

b) Q biểu diễn tung độ của điểm M.

c) Tính độ dài của $\vec{O M}$ theo các cạnh của hình chữ nhật dựa vào định lí Pytago.

d) Biểu thị $\vec{O M}$ theo các vectơ $\vec{O P}$ , $\vec{O Q}$ (quy tắc hình bình hành).

Lời giải chi tiết:

a) Vì P là hình chiếu vuông góc của M trên Ox nên điểm P biểu diễn hoành độ của điểm M là số $x_{o}$ .

Ta có: Vectơ $\vec{O P}$ cùng phương, cùng hướng với $\vec{i}$ và $| \vec{O P} | = x_{o} = x_{o} . | \vec{i} |$ .

$\Rightarrow \vec{O P} = x_{o} . \vec{i}$ .

b) Vì Q là hình chiếu vuông góc của M trên Oy nên điểm Q biểu diễn tung độ của điểm M là số $y_{o}$ .

Ta có: vectơ $\vec{O Q}$ cùng phương, cùng hướng với $\vec{j}$ và $| \vec{O Q} | = y_{o} = y_{o} . | \vec{j} |$ .

$\Rightarrow \vec{O Q} = y_{o} . \vec{j}$ .

c) Ta có: $\vec{O M} = O M$ .

Mà $O M^{2} = O P^{2} + M P^{2} = O P^{2} + O Q^{2} = {x_{o}}^{2} + {y_{o}}^{2}$ .

$\Rightarrow | \vec{O M} | = \sqrt{{x_{o}}^{2} + {y_{o}}^{2}}$ .

d) Ta có: Tứ giác OPMQ là hình chữ nhật, cũng là hình bình hành nên $\vec{O M} = \vec{O P} + \vec{O Q}$ .

$\Rightarrow \vec{O M} = x_{o} . \vec{i} + y_{o} . \vec{j}$ .

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 6 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(x; y) và N(x’; y’).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{O M}, \vec{O N}$ .

b) Biểu thị vectơ $\vec{M N}$ theo các vectơ $\vec{O M}, \vec{O N}$ và tọa độ của $\vec{M N}$ .

c) Tìm độ dài của vectơ $\vec{M N}$ .

Phương pháp giải:

a) Tọa độ của vectơ $\vec{O M}, \vec{O N}$ chính là tọa độ của M, N.

b) Biểu thị vectơ $\vec{M N}$ theo các vectơ $\vec{O M}, \vec{O N}$ bằng quy tắc hiệu.

Tìm tọa độ của $\vec{M N}$ dựa vào biểu thị theo hiệu ở trên và tọa độ của vectơ $\vec{O M}, \vec{O N}$ đã biết.

c) Độ dài của vectơ $\vec{M N} (a; b)$ là $| \vec{M N} | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Vì điểm M có tọa độ (x; y) nên vectơ $\vec{O M}$ có tọa độ (x; y).

Và điểm N có tọa độ (x’; y’) nên vectơ $\vec{O N}$ có tọa độ (x’; y’).

b) Ta có: $\vec{M N} = \vec{O N} - \vec{O M}$ (quy tắc hiệu).

Mà $\vec{O M}$ có tọa độ (x; y); $\vec{O N}$ có tọa độ (x’; y’).

$\Rightarrow \vec{M N} = (x^{'}; y^{'}) - (x; y) = (x^{'} - x; y^{'} - y)$ .

c) Vì $\vec{M N}$ có tọa độ $(x^{'} - x; y^{'} - y)$ nên $| \vec{M N} | = \sqrt{{(x^{'} - x)}^{2} + {(y^{'} - y)}^{2}}$ .

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 6 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1), B(3; 3).

a) Các điểm O, A, B có thẳng hàng hay không?

b) Tìm điểm M(x; y) để OABM là một hình hành.

Phương pháp giải:

a) Các điểm O, A, B thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{O A}, \vec{O B}$ cùng phương.

b) OABM là một hình hành khi và chỉ khi $\vec{O A} = \vec{M B}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\vec{O A} = (2; 1)$ ( do A(2; 1)) và $\vec{O B} = (3; 3)$ (do B (3; 3)).

Hai vectơ này không cùng phương (vì $\frac{2}{3} \neq \frac{1}{3}$ ).

Do đó các điểm O, A, B không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

b) Các điểm O, A, B không thẳng hàng nên OABM là một hình hành khi và chỉ khi $\vec{O A} = \vec{M B}$ .

Do $\vec{O A} = (2; 1), \vec{M B} = (3 - x; 3 - y)$ nên

$\vec{O A} = \vec{M B} \Leftrightarrow {\begin{cases} 2 = 3 - x \\ 1 = 3 - y \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$

Vậy điểm cần tìm là M (1; 2).

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 64 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Từ thông tin dự báo được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định tọa độ vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo.

Lời giải chi tiết:

Gọi tọa độ điểm M là (x; y).

Theo dự báo, tại thời điểm 9 giờ, tâm bão đã đi được $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ khoảng cách từ A tới B.

Hay $A M = \frac{3}{4} . A B \Rightarrow \vec{A M} = \frac{3}{4} . \vec{A B}$ (*)

Mà $\vec{A M} = (x - 13, 8; y - 108, 3)$ , $\vec{A B} = (14, 1 - 13, 8; 106, 3 - 108, 3) = (0, 3; - 2)$ .

Do đó $(*) \Leftrightarrow {\begin{cases} x - 13, 8 = \frac{3}{4} .0, 3 \\ y - 108, 3 = \frac{3}{4} . (- 2) \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 14, 025 \\ y = 106, 8 \end{cases}$

Vậy tọa độ điểm M là (14,025; 106,8).