Giải mục 2 trang 61, 62 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 2

Cho điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ nằm trên đường tròn $(C)$ tâm $I (a; b)$ và cho điểm $M (x; y)$ tùy ý trong mặt phẳng Oxy. Gọi $Δ$ là tiếp tuyến với $(C)$ tại $M_{0}$ .

a) Viết biểu thức tọa độ của hai vt $\vec{M_{0} M}$ và $\vec{M_{0} I}$ .

b) Viết biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vecto $\vec{M_{0} M}$ và $\vec{M_{0} I}$ .

c) Phương trình $\vec{M_{0} M} . \vec{M_{0} I} = 0$ là phương trình của đường thẳng nào?

Phương pháp giải:

a) Với $A (a; b), B (x; y)$ thì tọa độ của vt $\vec{A B} = (x - a; y - b)$ .

b) Với $\vec{a} = (a, b), \vec{b} = (x; y)$ thì $\vec{a} . \vec{b} = a x + b y$ .

c) Từ tích vô hướng đưa ra kết luận là $\vec{M_{0} M} = (x - x_{0}; y - y_{0})$ , $\vec{M_{0} I} = (a - x_{0}; b - y_{0})$ .

Lời giải chi tiết:

a) Biểu thức tọa độ của hai vecto $\vec{M_{0} M}$ và $\vec{M_{0} I}$ là $\vec{M_{0} M} = (x - x_{0}; y - y_{0})$ , $\vec{M_{0} I} = (a - x_{0}; b - y_{0})$ .

b) Ta có:

$\vec{M_{0} M} . \vec{M_{0} I} = (x - x_{0}) (a - x_{0}) + (b - y_{0}) (y - y_{0})$ .

c) $\vec{M_{0} M} . \vec{M_{0} I} = 0 \Rightarrow \vec{M_{0} M} ⊥ \vec{M_{0} I}$

$M_{0} I$ là đoạn thẳng nối tâm với điểm thuộc đường tròn, suy ra đường thẳng $M M_{0}$ là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $M_{0}$ , hay chính là $Δ$ .

Thực hành 3

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 = 0$ tại điểm $A (4; 6)$ .

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm $I (a; b)$ tại điểm $M (x_{0}; y_{0})$ nằm trên đường tròn là: $(a - x_{0}) (x - x_{0}) + (b - y_{0}) (y - y_{0}) = 0$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có $4^{2} + 6^{2} - 2.4 - 4.6 - 20 = 0$ , nên điểm A thuộc (C).

Đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 = 0$ có tâm $I (1; 2)$ .

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại $A (4; 6)$ là:

$(1 - 4) (x - 4) + (2 - 6) (y - 6) = 0$

$\Leftrightarrow 3 x + 4 y - 36 = 0$ .

Vận dụng 3

Một vận động viên ném đĩa đã vung đĩa theo một đường tròn $(C)$ có phương trình:

${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{169}{144}$ .

Khi người đó vung đĩa đến vị trí điểm $M (\frac{17}{12}; 2)$ thì buông đĩa (hình 4). Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm M.

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đường trong tâm $I (a; b)$ tại điểm $M (x_{0}; y_{0})$ nằm trên đường tròn là: $(a - x_{0}) (x - x_{0}) + (b - y_{0}) (y - y_{0}) = 0$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có ${(\frac{17}{12} - 1)}^{2} + {(2 - 1)}^{2} = \frac{169}{144}$ , nên điểm M thuộc (C).

Đường tròn ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{169}{144}$ có tâm $I (1; 1)$ .

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại $M (\frac{17}{12}; 2)$ là:

$(1 - \frac{17}{12}) (x - \frac{17}{12}) + (1 - 2) (y - 2) = 0$

$\Leftrightarrow - \frac{5}{12} x - y + \frac{373}{144} = 0$

$\Leftrightarrow 5 x + 12 y - \frac{373}{12} = 0$ .