Giải mục 2 trang 62, 63, 64 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Hoạt động 5

Cho dãy số chính phương ( $u_{n}$ ) với $u_{n} = n^{2}$

a, Viết các số hạng tương ứng của dãy số ( $u_{n}$ ) trong bảng sau:

b, Từ kết quả thu được, nhận xét về giá trị $u_{n}$ khi n tăng lên vô hạn.

c, Từ số hạng thứ mấy thì mọi số hạng $u_{n}$ đều thỏa mãn $u_{n} > 10000000000$ ?

Phương pháp giải:

a, Thay các giá trị của n=1,2,3,… để được các giá trị của $u_{n}$ tương ứng.

b, Khi n tăng vô hạn $u_{n} = n^{2}$ cũng tăng lên vô hạn

c, Giá trị 10000000000 ứng với $u_{100000}$

Với các giá trị n>100000 thỏa mãn $u_{n} > 10000000000$

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: $u_{1} = 1^{2} = 1; u_{2} = 2^{2} = 4; u_{3} = 3^{2} = 9; u_{4} = 4^{2} = 16$

$u_{5} = 5^{2} = 25; u_{6} = 6^{2} = 36; u_{7} = 7^{2} = 49; u_{8} = 8^{2} = 64$

$u_{1000} = 1000^{2} = 1000000$

b, Từ kết quả câu a ta thấy khi n tăng lên vô hạn thì giá trị $u_{n} = n^{2}$ cũng tăng lên vô hạn.

c, Ta có; $u_{100000} = 10000000000$ .

Để $u_{n} > 10000000000$ thì n > 100000.

Luyện tập 5

Tìm $lim (2^{n} {.3}^{n} {.4}^{n})$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng lim $q^{n} = + \infty$ với q > 1.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $lim (2^{n} {.3}^{n} {.4}^{n}) = lim (12^{n}) = + \infty$ .

Vận dụng

Một nhà thầu nhận được hợp đồng sơn màu trang trí một bức tường hình vuông màu trắng kích thước 4m x 4m của một trường mẫu giáo. Hai điều kiện của hợp đồng như sau:

a, Các hình vuông cần sơn màu như hình 3.1. Hình vuông lớn nhất có diện tích bằng một phần tư diện tích bức tường được sơn màu tùy ý khác màu trắng. Mỗi hình vuông tiếp theo có diện tích bằng một phần tư diện tích hình vuông trước nó, được sơn màu khác với hình vuông trước đó và màu trắng;

b, Một phần ba bức tường phải được sơn màu.

Sau khi xem các điều kiện của hợp đồng thì nhà thầu từ chối vì cho rằng không thể thực hiện theo yêu cầu của nhà trường. Hãy giải thích lí do vì sao họ từ chối hợp đồng.

Phương pháp giải:

Diện tích các hình vuông cần sơn là một cấp số nhân lùi vô hạn với q= $\frac{1}{4}$ .

Tổng diện tích các hình vuông cần sơn là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1} = 4$ và q= $\frac{1}{4}$ .

Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn :

lim $S_{n} =$ $= \frac{u_{1}}{1 - q}$ .

Lời giải chi tiết:

Vì diện tích hình vuông sau bằng một phần tư diện tích hình vuông trước đó nên diện tích các hình vuông cần sơn là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q= $\frac{1}{4}$ .

Diện tích hình vuông lớn nhất bằng một phần tư diện tích bức tường nên diện tích hình vuông thứ nhất là: $u_{1} = \frac{1}{4} .4 .4 = 4$ ( $m^{2}$ ).

Tổng diện tích các hình vuông cần được sơn là một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1} = 4$ và q= $\frac{1}{4}$ ta có:

S= $u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n} + . . .$ =lim $S_{n} =$ $= \frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{4}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{\frac{3}{4}} = \frac{16}{3}$ .

$\Rightarrow$ lim $S_{n}$ bằng một phần ba diện tích của bức tường

Như vậy, không tìm đươc giá trị của n để thỏa mãn điều kiện b của nhà trường. Do đó, nhà thầu từ chối hợp đồng.