Giải mục 2 trang 62, 63

Hoạt động 2

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), một điểm $M_0$ cố định thuộc (C) có hoành độ $x_0$. Với mỗi điểm M thuộc (C) khác $M_0$, kí hiệu $x_M$ là hoành độ của điểm M và $k_M$ là hệ số góc của cát tuyến $M_{0}M$. Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn $k_0=\underset{x_M\to x_0}{lim}{k}_M$. Khi đó, ta coi đường thẳng $M_{0}T$ đi qua $M_0$ và có hệ số góc $k_0$ là ví trị giới hạn của cát tuyến $M_{0}M$ khi điểm M di chuyển dọc theo (C) dần tới $M_0$. Đường thẳng $M_{0}T$ được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm $M_0$, còn $M_0$ được gọi là tiếp điểm (Hình 3).

a) Xác định hệ số góc $k_0$ của tiếp tuyến $M_{0}T$ theo $x_0$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M_0$.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa đạo hàm để làm bài.

Lời giải chi tiết:

a) $k_0=\underset{x\to x_M}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=f^{\prime }\left(x_0\right)$.

b) Phương tình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M_0$:

$y=k_0(x-x_0)+y_0$.

Luyện tập – Vận dụng 3

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x}$ tại điểm N(1; 1).

Phương pháp giải:

Dựa vào ví dụ 3 để làm.

Lời giải chi tiết:

- Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc là:

$f^{\prime }\left(1\right)=\underset{x\to 1}{lim}\frac{\frac{1}{x}-1}{x-1}=-1$.

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm N(1; 1) là:

$y=-1.\left(x-1\right)+1=-x+1+1=-x+2$.