Giải mục 2 trang 63, 64

Bề mặt của một bóng thám không dạng hình cầu có phương trình ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 200x - 600y - {rm{4 000}}z + {rm{4 099 900}} = 0). Tìm toạ độ tâm và bán kính mặt cầu.

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 64 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bề mặt của một bóng thám không dạng hình cầu có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 200 x - 600 y - 4000 z + 4099900 = 0$ . Tìm toạ độ tâm và bán kính mặt cầu.

Phương pháp giải:

Phương trình của bề mặt bóng thám không là phương trình có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ . Xác định $a$ , $b$ , $c$ , $d$ và tính $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d$ , rồi rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Phương trình của bề mặt bóng thám không là phương trình có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ , với $a = 100$ , $b = 300$ , $c = 2000$ và $d = 4099900$ .

Ta có $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 100^{2} + 300^{2} + 2 000^{2} - 4 099 900 = 100 > 0.$

Vậy bóng thám không có tâm $I (100; 300; 2000)$ và bán kính $R = \sqrt{100} = 10$ .

VD3

Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 64 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Đầu in phun của một máy in 3D đang in bề mặt của một mặt cầu có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + \frac{1}{8} x - \frac{1}{8} y - z + \frac{1}{16} = 0$ . Tính khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu.

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu chính là bán kính của mặt cầu đó.

Phương trình mặt cầu có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ , xác định các hệ số $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , sau đó tính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$ .

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu chính là bán kính của mặt cầu đó.

Phương trình mặt cầu $x^{2} + y^{2} + z^{2} + \frac{1}{8} x - \frac{1}{8} y - z + \frac{1}{16} = 0$ có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ với $a = - \frac{1}{16}$ , $b = \frac{1}{16}$ , $c = \frac{1}{2}$ và $d = \frac{1}{16}$ .

Suy ra bán kính của mặt cầu là $R = \sqrt{{(- \frac{1}{16})}^{2} + {(\frac{1}{16})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{16}} = \frac{5 \sqrt{2}}{16}$ .