Giải mục 2 trang 66, 67, 68, 69

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 66 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho điểm M trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.

a) Vẽ vecto $\overrightarrow{OM}$.

b) Nêu cách xác định tọa độ của điểm M.

Lời giải chi tiết:

a)

b) Nếu $\overrightarrow{OM}$ có tọa độ (a;b;c) thì ta viết $\overrightarrow{OM}=(a;b;c)$, trong đó a là hoành độ, b là tung độ và c là cao độ.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 66 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{OA}=(3;1;-2)$. Tìm tọa độ của điểm A.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa: “Tọa độ của điểm M là tọa độ của vecto $\overrightarrow{OM}$”.

Lời giải chi tiết:

Vì $\overrightarrow{OA}=(3;1;-2)$ nên A(3;1;-2).

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 67 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto $\vec{u}$ (Hình 28). Hãy xác định điểm A sao cho $\overrightarrow{OA}=\vec{u}$.

Phương pháp giải:

Vẽ $\overrightarrow{OA}$ có tung độ, hoành độ và cao độ giống nhau.

Lời giải chi tiết:

Cách xác định điểm A:

- Từ gốc tọa độ O, dựng đường thẳng d song song với giá của vecto $\overrightarrow{u}$.

- Trên d, lấy điểm A sao cho vecto $\overrightarrow{OA}$ cùng hướng với vecto $\overrightarrow{u}$ và $OA=\left|\overrightarrow{u}\right|$.

Vậy ta được điểm A thỏa mãn $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 67 SGK Toán 12 Cánh diều

Tìm tọa độ của các vecto $\overrightarrow{KA}$, $\overrightarrow{A_{3}A}$ ở Hình 30.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa:

- Tọa độ của điểm M là tọa độ của vecto $\overrightarrow{OM}$.

- Tọa độ của $\overrightarrow{u}$ là tọa độ của điểm A, trong đó A là điểm sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$.

Lời giải chi tiết:

Quan sát Hình 30, có $\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{O{A}_3}$, $\overrightarrow{A_{3}A}=\overrightarrow{OK}$.

Mặt khác, vì $A_3(4;0;3)$ và $K(0;5;0)$ nên $\overrightarrow{O{A}_3}=(4;0;3)$, $\overrightarrow{OK}=(0;5;0)$.

Do đó $\overrightarrow{KA}=(4;0;3)$, $\overrightarrow{A_{3}A}=(0;5;0)$.

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 68 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto $\vec{u}=\left(a;b;c\right)$ (Hình 31).

Lấy điểm A sao cho $\overrightarrow{OA}=\vec{u}$.

a) Tìm hoành độ, tung độ và cao độ của điểm A.

b) Biểu diễn vecto $\overrightarrow{OH}$ qua vecto $\vec{i}$, vecto $\overrightarrow{OK}$ qua vecto $\vec{j}$, vecto $\overrightarrow{OP}$ qua vecto $\vec{k}$.

c) Biểu diễn vecto $\vec{u}$ theo các vecto $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc tính tọa độ vecto.

Lời giải chi tiết:

a) a là hoành độ của điểm A, b là tung độ của điểm A, c là cao độ của điểm A.

b) $\overrightarrow{OH}=a\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{OK}=b\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{OP}=c\overrightarrow{k}$.

c) Áp dụng quy tắc hình hộp ta được: $\vec{u}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}+c\overrightarrow{k}$.

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 68 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{k}$ và vecto $\overrightarrow{v}=-7\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$. Hãy tìm tọa độ của:

a) Điểm B;

b) Vecto $\overrightarrow{v}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa:

- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, nếu $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ thì $\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}+c\overrightarrow{k}$.

- Tọa độ của điểm M là tọa độ của vecto $\overrightarrow{OM}$.

Lời giải chi tiết:

a) $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{k}=(-1;0;2)$. Do đó B(-1;0;2).

b) $\overrightarrow{v}=-7\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}=(0;-7;1)$.

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 69 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(x_A;y_A;z_A)$, $B(x_B;y_B;z_B)$ (Hình 32).

a) Biểu diễn mỗi vecto $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ theo các vecto $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{k}$.

b) Tìm liên hệ giữa $\overrightarrow{AB}$ và  $(x_B-x_A).\vec{i}+(y_B-y_A).\vec{j}+(z_B-z_A).\vec{k}$.

c) Từ đó, tìm tọa độ vecto $\overrightarrow{AB}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết tọa độ của vecto trong không gian.

Lời giải chi tiết:

a) $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{O{A}_1}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{OK}=x_A.\overrightarrow{i}+y_A.\overrightarrow{j}+z_A.\overrightarrow{k}$.

Tương tự, ta có: $\overrightarrow{OB}=x_B.\overrightarrow{i}+y_B.\overrightarrow{j}+z_B.\overrightarrow{k}$.

 b) Ta có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=x_B.\overrightarrow{i}+y_B.\overrightarrow{j}+z_B.\overrightarrow{k}-(x_A.\overrightarrow{i}+y_A.\overrightarrow{j}+z_A.\overrightarrow{k})=(x_B-x_A).\overrightarrow{i}+(y_B-y_A).\overrightarrow{j}+(z_B-z_A).\overrightarrow{k}$.

 c) Tọa độ vecto $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$.

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 69 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A’(1;0;1), B’(2;1;2), D’(1;-1;1), C(4;5;-5). Tìm tọa độ đỉnh A của hình hộp.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc hình hộp và định lí về tọa độ của vecto:

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$.

Lời giải chi tiết:

Gọi A(x;y;z).

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{A^{\prime }C}$.

Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=(1;1;1)$, $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=(0;-1;0)$, $\overrightarrow{A^{\prime }A}=(x-1;y;z-1)$, $\overrightarrow{A^{\prime }C}=(3;5;-6)$.

Suy ra $\{\begin{array}{c}1+0+(x-1)=3\\ 1-1+y=5\\ 1+0+(z-1)=-6\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=3\\ y=5\\ z=-6\end{array}\Rightarrow A(3;5;-6)$.