Giải mục 2 trang 67, 68, 69, 70 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức

CH1

Trả lời câu hỏi Câu hỏi 1 trang 67 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ là một số dương? Là một số âm?

Phương pháp giải:

+) Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ : $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})$ .

Nhận xét: $\vec{u} . \vec{v}$ cùng dấu với $\cos (\vec{u}, \vec{v})$ .

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy: $\vec{u} . \vec{v}$ cùng dấu với $\cos (\vec{u}, \vec{v})$ (do $| \vec{u} | . | \vec{v} | > 0$ ). Do đó:

+) $\vec{u} . \vec{v} > 0$ $\Leftrightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) > 0$ hay $0^{o} \leq (\vec{u}, \vec{v}) < 90^{o}$ .

+) $\vec{u} . \vec{v} < 0$ $\Leftrightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) < 0$ hay $90^{o} < (\vec{u}, \vec{v}) \leq 180^{o}$ .

Vậy $\vec{u} . \vec{v} > 0$ nếu $0^{o} \leq (\vec{u}, \vec{v}) < 90^{o}$ và $\vec{u} . \vec{v} < 0$ nếu $90^{o} < (\vec{u}, \vec{v}) \leq 180^{o}$ .

CH2

Trả lời câu hỏi Câu hỏi 2 trang 67 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Khi nào thì ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {(\vec{u})}^{2} . {(\vec{v})}^{2}$ ?

Phương pháp giải:

+) $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})$ .

+) ${\vec{u}}^{2} = {| \vec{u} |}^{2}$ với mọi vectơ $\vec{u}$ .

Lời giải chi tiết:

${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {(\vec{u})}^{2} . {(\vec{v})}^{2}$

$\Leftrightarrow {[| \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})]}^{2} = {| \vec{u} |}^{2} . {| \vec{v} |}^{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {[\cos (\vec{u}, \vec{v})]}^{2} = 1 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos (\vec{u}, \vec{v}) = 1 \\ \cos (\vec{u}, \vec{v}) = - 1 \end{array} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} (\vec{u}, \vec{v}) = 0^{o} \\ (\vec{u}, \vec{v}) = 180^{o} \end{array}$

Hay hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ cùng phương.

Vậy hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ cùng phương thì ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {(\vec{u})}^{2} . {(\vec{v})}^{2}$ .

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 67 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $\vec{A B} . \vec{A C}$ theo a, b, c.

Phương pháp giải:

Tích vô hướng: $\vec{u} . \vec{v} = | \vec{u} | . | \vec{v} | . \cos (\vec{u}, \vec{v})$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = | \vec{A B} | . | \vec{A C} | . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$

Mà $(\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{B A C}$

$\Rightarrow \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = \cos \hat{B A C}$ .

Lại có: $\cos \hat{B A C} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ (suy ra từ định lí cosin)

$\Rightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$

$\Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = c . b . \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$

$\Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2}$ .