Giải mục 2 trang 67, 68, 69, 70

CH1

Trả lời câu hỏi Câu hỏi 1 trang 67 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số dương? Là một số âm?

Phương pháp giải:

+) Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

Nhận xét: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ cùng dấu với $\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ cùng dấu với $\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ (do $\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|>0$). Do đó:

+) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}>0$  $\iff \cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)>0$ hay $0^o\le \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)<{90}^o$.

+) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}<0$ $\iff \cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)<0$ hay ${90}^o<\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\le {180}^o$.

Vậy $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}>0$  nếu $0^o\le \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)<{90}^o$ và $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}<0$ nếu ${90}^o<\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\le {180}^o$.

CH2

Trả lời câu hỏi Câu hỏi 2 trang 67 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Khi nào thì ${\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\left(\overrightarrow{u}\right)}^2.{\left(\overrightarrow{v}\right)}^2$?

Phương pháp giải:

+) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

+) ${\overrightarrow{u}}^2={\left|\overrightarrow{u}\right|}^2$ với mọi vectơ $\overrightarrow{u}$.

Lời giải chi tiết:

${\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\left(\overrightarrow{u}\right)}^2.{\left(\overrightarrow{v}\right)}^2$

$\iff {\left[\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\right]}^2={\left|\overrightarrow{u}\right|}^2.{\left|\overrightarrow{v}\right|}^2$

$\begin{array}{c}\iff {\left[\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\right]}^2=1\\ \iff [\begin{array}{c}\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=1\\ \cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=-1\end{array}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=0^o\\ \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)={180}^o\end{array}$ 

Hay hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ cùng phương.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ cùng phương thì ${\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\left(\overrightarrow{u}\right)}^2.{\left(\overrightarrow{v}\right)}^2$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 67 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ theo a, b, c.

Phương pháp giải:

Tích vô hướng: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

Mà $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{BAC}$

$\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\cos \widehat{BAC}$.

Lại có: $\cos \widehat{BAC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ (suy ra từ định lí cosin)

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=c.b.\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$.