Giải mục 2 trang 67, 68, 69 SGK Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 2

a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông có $B C = a, A C = b, A B = c$ và R là bán kính của đường trong ngoại tiếp tam giác đó. Vẽ đường kính BD.

i) Tính $\sin \hat{B D C}$ theo a và R.

ii) Tìm mối liên hệ giữa hai góc $\hat{B A C}$ và $\hat{B D C}$ . Từ đó chứng minh rằng $2 R = \frac{a}{\sin A} .$

b) Cho tam giác ABC với góc A vuông. Tính sinA và so sánh a với 2R để chứng tỏ ta vẫn có công thức $2 R = \frac{a}{\sin A} .$

Lời giải chi tiết:

a) Tam giác BDC vuông tại C nên $\sin \hat{B D C} = \frac{B C}{B D} = \frac{a}{2 R} .$

b)

TH1: Tam giác ABC có góc A nhọn

$\hat{B A C} = \hat{B D C}$ do cùng chắn cung nhỏ BC.

$\Rightarrow \sin \hat{B A C} = \sin \hat{B D C} = \frac{a}{2 R} .$

TH2: Tam giác ABC có góc A tù

$\hat{B A C} + \hat{B D C} = 180^{o}$ do ABDC là tứ giác nội tiếp (O).

$\Rightarrow \sin \hat{B A C} = \sin (180^{o} - \hat{B A C}) = \sin \hat{B D C} = \frac{a}{2 R} .$

Vậy với góc A nhọn hay tù ta đều có $2 R = \frac{a}{\sin A} .$

b) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì BC là đường kính của (O).

Khi đó ta có: $\sin A = \sin 90^{o} = 1$ và $a = B C = 2 R$

Do đó ta vẫn có công thức: $2 R = \frac{a}{\sin A} .$

Thực hành 2

Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP trong Hình 8.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí sin cho tam giác MNP:

$\frac{M N}{\sin P} = \frac{M P}{\sin N} = \frac{N P}{\sin M}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $N P = 22, \hat{P} = 180^{o} - (112^{o} + 34^{o}) = 34^{o}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\frac{M N}{\sin P} = \frac{M P}{\sin N} = \frac{N P}{\sin M}$

Suy ra:

$M P = \frac{N P . \sin N}{\sin M} = \frac{22. \sin 112^{o}}{\sin 34^{o}} \approx 36, 48$

$M N = \frac{N P . \sin P}{\sin M} = \frac{22. \sin 34^{o}}{\sin 34^{o}} = 22.$

Vận dụng 2

Trong một khu bảo tồn, người ta xây dựng một tháp canh và hai bồn chứa nước A, B để phòng hỏa hoạn. Từ tháp canh, người ta phát hiện đám cháy và số liệu đưa về như Hình 9. Nên dẫn nước từ bồn chứa A hay B để dập tắt đám cháy nhanh hơn?

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí sin, tính khoảng cách từ bồn chứa nước A đến đám cháy.

Áp dụng định lí cosin, tính khoảng cách từ bồn chứa nước B đến đám cháy.

Lời giải chi tiết:

Đặt các điểm A, B, C, D lần lượt là vị trí bồn chứa nước A, bồn chứa nước B, tháp canh và đám cháy.

Ta có: $C B = 900, \hat{C D B} = 180^{o} - (125^{o} + 35^{o}) = 20^{o}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác CBD, ta có:

$\frac{C B}{\sin D} = \frac{B D}{\sin C} = \frac{C D}{\sin B}$

Suy ra:

$B D = \frac{C B . \sin C}{\sin D} = \frac{900. \sin 35^{o}}{\sin 20^{o}} \approx 1509, 3$

$C D = \frac{C B . \sin B}{\sin D} = \frac{900. \sin 125^{o}}{\sin 20^{o}} = 2155, 5$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ACD ta có:

$\begin{array}{l} A D^{2} = A C^{2} + C D^{2} - 2. A C . C D . \cos \hat{A C D} \\ \Leftrightarrow A D^{2} = 1800^{2} + 2155, 5^{2} - 2.1800.2155, 5. \cos 34^{o} \approx 1453014, 5 \\ \Leftrightarrow A D \approx 1205, 4 \end{array}$

Vì $A D < B D$ nên khoảng cách từ bồn chứa nước A đến đám cháy là ngắn hơn.

Vậy nên dẫn nước từ bồn chứa nước A để dập tắt đám cháy nhanh hơn.