Hoạt động 4
Cho hàm số f(x)={x+2,x≥1x−4,x<1 và hai dãy số (un) và (vn) với un=1+1n, vn=1−1n
a, So sánh un,vn với 1 và tìm limun, limvn.
b, Tính f(un) và f(vn) theo n.
c, Tìm limf(un) và limf(vn).
Phương pháp giải:
a, Xác định lim1n để so sánh un,vn với 1 và tìm limun, limvn.
b, Thay un=1+1n, vn=1−1n để tính f(un) và f(vn).
c, Sử dụng câu a,b để tìm limf(un) và limf(vn).
Lời giải chi tiết:
a, Ta có lim1n=0 và 1n>0 nên:
un=1+1n>1 và vn=1−1n<1
limun=lim(1+1n)=1 và limvn=lim(1−1n)=1.
b, Với un>1 thay x=un vào f(x)=x+2 ta được:
f(un)=un+2=1+1n+2=3+1n.
Với vn<1 thay x=vn vào f(x) = x-4 ta được:
f(vn)=vn−4=1−1n−4=−3−1n.
c, Ta có: limf(un)=lim(3+1n)=3.
limf(vn)=lim(−3−1n)=−3.
Luyện tập 4
Cho hàm số f(x)={x2+1,x≥1x2−1x+1,x<1. Tính limx→1+f(x)và limx→1−f(x)
Phương pháp giải:
limx→−1+f(x)=lim(xn2+1)
limx→−1−f(x)=limxn2−1xn+1
Lời giải chi tiết:
Giả sử (xn) là một dãy số bất kì mà xn>−1 và limxn=−1, ta có f(xn)=x2n+1.
Vậylimx→−1+f(x) =limf(xn)=(−1)2+1=2.
Giả sử (xn) là một dãy số bất kì mà xn<−1 và limxn=−1, ta có f(xn)=x2n−1xn+1=(xn−1)(xn+1)xn+1=xn−1
Vậy limx→−1−f(x)=limf(xn)=−1−1=−2.
Luyện tập 5
Cho hàm số f(x)={2ax+6,x≥−2x2−4x+2,x<−2. Tìm a, biết rằng tồn tại limx→−2f(x)
Phương pháp giải:
limx→−2+f(x)=limx→−2+(2ax+6)=−4a+6
limx→−2−f(x)=limx→−2−x2−4x+2=limx→−2−(x−2)=−4
Cho limx→−2+f(x)=limx→−2−f(x) để tìm giá trị của a.
Lời giải chi tiết:
Ta có: limx→−2+f(x)=limx→−2+(2ax+6)=−4a+6
limx→−2−f(x)=limx→−2−x2−4x+2=limx→−2−(x−2)=−4
Để tồn tại limx→−2f(x) thì limx→−2+f(x)=limx→−2−f(x)⇔−4a+6=−4⇔−4a=−10⇔a=52
Vậy a=52.
Hoạt động 5
Đồ thị hàm số y=f(x)=1x−2 được cho trong hình 3.3
a, Nếu M(x;f(x)) là một điểm trên đồ thị, hãy dự đoán giá trị của f(x) khi x dần đến 2 theo phía phải, theo phía trái.
b, (xn)là một dãy số bất kì mà xn<2 và limxn=2.Tính f(xn) và limf(xn).
Phương pháp giải:
a, Dựa vào phần đồ thị bên phải để xác định giá trị của f(x) khi x gần đến 2 theo phía phải và phần đồ thị bên trái để xác định giá trị của f(x) khi x gần đến 2 theo phía trái.
b, Thay x=xn để tính f(xn).
Tìm limx→2−f(x) và limx→2+f(x).
Lời giải chi tiết:
a, Dự đoán: Khi x gần đến 2 theo phía phải thì f(x) gần đến +∞
Khi x gần đến 2 theo phía trái thì f(x) gần đến −∞.
b, Thay x=xn vào f(x) ta được : f(xn)=1xn−2
Cho dãy số (xn) với xn>2 và limxn=2, lim1=1 ta có:
limf(xn)=+∞
Cho dãy số (xn) với xn<2 và limxn=2, lim 1=1 ta có:
limf(xn)=−∞.
Luyện tập 6
Tìm limx→2−12−x và limx→4+1x−4.
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí limx→a+1x−a=+∞ và limx→a−1x−a=−∞ với mọi số thực a.
Lời giải chi tiết:
Ta có: limx→2−12−x=limx→2−−1x−2=+∞
limx→4+1x−4=+∞
