Giải mục 2 trang 67, 68

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 67 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hai đường thẳng phân biệt $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt đi qua các điểm $M_{1}, M_{2}$ và tương ứng có vectơ chỉ phương là $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ .

a) Giả sử $Δ_{1}$ song song với $Δ_{2}$ (Hình 25). Các cặp vectơ sau có cùng phương hay không: $\vec{u_{1}}$ và $\vec{u_{2}}$ ; $\vec{u_{1}}$ và $\vec{M_{1} M_{2}}$ ?

b) Giả sử $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau (Hình 26). Hai vectơ $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ có cùng phương hay không? Ba vectơ $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ và $\vec{M_{1} M_{2}}$ có đồng phẳng hay không?

c) Giả sử $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau (Hình 27). Hai vectơ $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ có cùng phương hay không? Ba vectơ $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ và $\vec{M_{1} M_{2}}$ có đồng phẳng hay không?

Phương pháp giải:

+ Sử dụng kiến thức về giá của vectơ trong không gian để trả lời: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ được gọi là giá của vectơ.

+ Sử dụng kiến thức về vectơ chỉ phương của đường thẳng để trả lời: Cho đường thẳng $Δ$ và vectơ $\vec{u}$ khác $\vec{0}$ . Vectơ $\vec{u}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ nếu giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với $Δ$ .

Lời giải chi tiết:

a) Vì $Δ_{1}$ song song với $Δ_{2}$ nên $\vec{u_{1}}$ và $\vec{u_{2}}$ cùng phương.

Vì $M_{1}$ thuộc đường thẳng $Δ_{1}$ , $M_{2}$ thuộc đường thẳng $Δ_{2}$ nên $\vec{u_{1}}$ và $\vec{M_{1} M_{2}}$ không cùng phương.

b) Vì $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau nên $\vec{u_{1}}$ và $\vec{u_{2}}$ không cùng phương. Ba vectơ $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ và $\vec{M_{1} M_{2}}$ đồng phẳng.

c) Vì $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau nên $\vec{u_{1}}$ và $\vec{u_{2}}$ không cùng phương. Ba vectơ $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ và $\vec{M_{1} M_{2}}$ không đồng phẳng.

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 68 SGK Toán 12 Cánh diều

Bằng cách giải hệ phương trình, xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng $Δ_{1} : {\begin{cases} x = t_{1} \\ y = 1 \\ z = 0 \end{cases}$ và $Δ_{2} : {\begin{cases} x = 2 \\ y = t_{2} \\ z = 0 \end{cases}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng cách giải hệ phương trình chứa hai phương trình của hai đường thẳng, ta xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Xét hệ phương trình: ${\begin{cases} t_{1} = 2 \\ 1 = t_{2} \\ 0 = 0 \end{cases}$ . Hệ phương trình này có một nghiệm duy nhất nên hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau.