Giải mục 2 trang 68, 69

HĐ9

Cho hai hàm số $f\left(x\right);g\left(x\right)$ xác định trên khoảng (a; b), cùng có đạo hàm tại điểm $x_0\in (a;b)$

a) Xét hàm số $h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$; $x\in (a;b)$. So sánh:

$\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{h(x_0+\Delta x)-h\left(x_0\right)}{\Delta x}$ và $\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{g(x_0+\Delta x)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}+\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\Delta x)-g\left(x_0\right)}{\Delta x}$.

b) Nêu nhận xét về $h^{\prime }\left(x_0\right)$ và $f^{\prime }\left(x_0\right)+g^{\prime }\left(x_0\right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\Delta x=x-x_0$, $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$.

$\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{h(x_0+\Delta x)-h\left(x_0\right)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{h\left(x\right)-h\left(x_0\right)}{x-x_0}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f\left(x\right)+g\left(x\right)-f\left(x_0\right)-g\left(x_0\right)}{x-x_0}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{g\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}+\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f\left(x\right)-g\left(x_0\right)}{x-x_0}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{g\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}+\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-g\left(x_0\right)}{\Delta x}$.

b) $h^{\prime }\left(x_0\right)$ = $f^{\prime }\left(x_0\right)+g^{\prime }\left(x_0\right)$.

LT9

Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=x\sqrt{x}$ tại điểm x dương bất kì.

Phương pháp giải:

Dựa vào định lí đạo hàm của tích.

Lời giải chi tiết:

$f^{\prime }\left(x\right)=x^{\prime }\sqrt{x}+x{\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}$

$=\sqrt{x}+\frac{1}{2}\sqrt{x}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$.

HĐ10

Cho hàm số $y=f\left(u\right)=\sin u$; $u=g\left(x\right)=x^2$.

a) Bằng cách thay u bởi $x^2$ trong biểu thức $\sin u$, hãy biểu thị giá trị của y theo biến số x.

b) Xác định hàm số $y=f\left(g\right(x\left)\right)$

Phương pháp giải:

Thay biểu thức vào để tính.

Lời giải chi tiết:

a) $f\left(u\right)=\sin x^2$.

b) Hàm số: $y=f\left(x^2\right)=\sin x^2$.

LT10

Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=\tan x+\cot x$ tại điểm $x_0=\frac{\pi }{3}$.

Phương pháp giải:

Dựa vào định lí đạo hàm của tổng và đạo hàm của hàm số lượng giác.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)={\tan }^{\prime }x+{\cot }^{\prime }x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$.

Tại $x_0=\frac{\pi }{3}$, $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{{\cos }^2\frac{\pi }{3}}-\frac{1}{{\sin }^2\frac{\pi }{3}}=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$.

LT11

Hàm số $y={\log }_2\left(3x+1\right)$ là hàm hợp của hai hàm số nào?

Phương pháp giải:

Dựa vào khái niệm của hàm hợp.

Lời giải chi tiết:

Đặt u = 3x + 1, ta có: $y={\log }_{3}u$.

Vậy $y={\log }_2\left(3x+1\right)$ là hàm hợp của hai hàm số $y={\log }_{3}u$, u = 3x + 1.

LT12

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) $y=e^{3x+1}$;

b) $y={\log }_3\left(2x-3\right)$.

Phương pháp giải:

Dựa vào quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp.

Lời giải chi tiết:

a) Đặt u = 3x + 1, y = log₃u. Khi đó: y’_u = e^u; u’_x= 3.

Theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có:

y’_x = y’_u.u’_x = e^u.3 = 3.e^{3x + 1}_.

b) Đặt u = 2x - 3, y = e^u. Khi đó: y’_u = $\frac{1}{u\ln 3}$; u’_x= 2.

Theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có:

y’_x = y’_u.u’_x = $\frac{1}{u\ln 3}$.2 = $\frac{2}{\left(2x-3\right)\ln 3}$_.