Giải mục 2 trang 68, 69

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho đường thẳng d có vector chỉ phương $\vec{a}$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có vector pháp tuyến $\vec{n}$. Gọi d' là hình chiếu của d trên $\left(\alpha \right)$. Gọi $\varphi$ là góc giữa d và $\left(\alpha \right)$, còn ${\varphi }^{\prime }$ là góc giữa $\vec{a}$ và $\vec{n}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất:

- φ và φ' là hai góc phụ nhau (φ + φ' = 90°).

- Sử dụng công thức lượng giác của góc phụ nhau.

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn là góc nhọn.

Lời giải chi tiết:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là hai góc phụ nhau.

$\phi +{\phi }^{\prime }={90}^{\circ }$ (góc phụ)

Vì vậy:

$\cos \phi =\cos ({90}^{\circ }-{\phi }^{\prime })=\sin {\phi }^{\prime }$

$\sin \phi =\sin ({90}^{\circ }-{\phi }^{\prime })=\cos {\phi }^{\prime }$

Do đó:

$\cos \phi =\cos {\phi }^{\prime }$ là SAI

$\sin \phi =\left|\cos {\phi }^{\prime }\right|$ là ĐÚNG

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 69 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng $d^{\prime }:\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=-3+2t\\ y=1+t(t\in R)\\ z=2+t\end{array}\end{array}$và các mặt phẳng tọa độ: $\left(Oxy\right)$, $\left(Oxz\right)$, $\left(Oyz\right)$.

Phương pháp giải:

- Xác định vectơ chỉ phương ${\vec{v}}_d=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ từ phương trình tham số của đường thẳng.

- Tùy vào mặt phẳng nào (Oxy, Oxz, Oyz), tìm vectơ pháp tuyến tương ứng của nó. - Sử dụng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

$\sin \theta =\frac{|{\vec{v}}_d\cdot \vec{n}|}{|{\vec{v}}_d||\vec{n}|}$

với ${\vec{v}}_d$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng, và $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là ${\vec{v}}_d=(2,1,1)$.

Vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng:

- Oxy: ${\vec{n}}_{Oxy}=(0,0,1)$

- Oxz: ${\vec{n}}_{Oxz}=(0,1,0)$

- Oyz: ${\vec{n}}_{Oyz}=(1,0,0)$

Tính góc giữa đường thẳng $d$ và các mặt phẳng:

- Với mặt phẳng Oxy:

$\sin \theta =\frac{|(2,1,1)\cdot (0,0,1)|}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\frac{|1|}{\sqrt{6}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{6}}$

Do đó, góc ${\theta }_{Oxy}=\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)$.

- Với mặt phẳng Oxz:

$\sin \theta =\frac{|(2,1,1)\cdot (0,1,0)|}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}\cdot \sqrt{0^2+1^2+0^2}}=\frac{|1|}{\sqrt{6}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{6}}$

Do đó, góc ${\theta }_{Oxy}=\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)$.

- Với mặt phẳng Oyz:

$\sin \theta =\frac{|(2,1,1)\cdot (1,0,0)|}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}\cdot \sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\frac{|2|}{\sqrt{6}\cdot 1}=\frac{2}{\sqrt{6}}$

Do đó, góc ${\theta }_{Oxy}=\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)$.