Giải mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Chứng minh rằng, với hai biến cố A và B, P(B) > 0, ta có: $P (A B) = P (B) . P (A | B)$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để chứng minh: Cho hai biến cố A và B bất kì, với $P (B) > 0$ . Khi đó, $P (A | B) = \frac{P (A B)}{P (B)}$ .

Lời giải chi tiết:

Với hai biến cố A và B, $P (B) > 0$ , ta có $P (A | B) = \frac{P (A B)}{P (B)}$ nên $P (A B) = P (B) . P (A | B)$ .

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 69 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trở lại Ví dụ 4. Tính xác suất để:

a) Sơn lấy được bút bi xanh và Tùng lấy được bút bi đen;

b) Hai chiếc bút lấy ra có cùng màu.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về công thức nhân xác suất để tính: Với hai biến cố A, B bất kì ta có: $P (A B) = P (B) . P (A | B)$ .

Lời giải chi tiết:

a) Gọi A là biến cố: “Bạn Sơn lấy được bút bi xanh”; B là biến cố: “Bạn Tùng lấy được bút bi đen”.

Vì $n (A) = 7$ nên $P (A) = \frac{7}{12}$ .

Nếu A xảy ra tức là bạn Sơn lấy được bút bi xanh thì trong hộp có 11 bút bi với 5 bút bi đen. Do đó, $P (B | A) = \frac{5}{11}$ .

Theo công thức nhân xác suất ta có:

$P (A B) = P (A) . P (B | A) = \frac{7}{12} . \frac{5}{11} = \frac{35}{132}$ .

b) Dựa vào sơ đồ cây trong Ví dụ 4, xác suất để lấy ra hai bút có cùng màu là:

$\frac{5}{12} . \frac{4}{11} + \frac{7}{12} . \frac{6}{11} = \frac{31}{66}$ .

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 69 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trở lại trò chơi “Ô cửa bí mật” trong tình huống mở đầu. Giả sử người chơi chọn cửa số 1 và người quản trò mở cửa số 3.

Kí hiệu $E_{1}; E_{2}; E_{3}$ tương ứng là các biến cố: “Sau ô cửa số 1 có ô tô”; “Sau ô cửa số 2 có ô tô”; “Sau ô cửa số 3 có ô tô” và H là biến cố: “Người quản trò mở ô cửa số 3 thấy con lừa”.

Sau khi người quản trò mở cánh cửa số 3 thấy con lừa, tức là khi H xảy ra. Để quyết định thay đổi lựa chọn hay không, người chơi cần so sánh hai xác suất có điều kiện: $P (E_{1} | H)$ và $P (E_{2} | H)$ .

a) Chứng minh rằng:

$P (E_{1}) = P (E_{2}) = P (E_{3}) = \frac{1}{3}$ ;
$P (H | E_{1}) = \frac{1}{2}$ và $P (H | E_{2}) = 1$ .

b) Sử dụng công thức tính xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất, chứng minh rằng:

$P (E_{1} | H) = \frac{P (E_{1}) . P (H | E_{1})}{P (H)}$ ;
$P (E_{2} | H) = \frac{P (E_{2}) . P (H | E_{2})}{P (H)}$ .

c) Từ các kết quả trên hãy suy ra: $P (E_{2} | H) = 2 P (E_{1} | H)$ .

Từ đó hãy đưa ra lời khuyên cho người chơi: Nên giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu hay chuyển sang cửa chưa mở còn lại?

Hướng dẫn: Nếu $E_{1}$ xảy ra, tức là sau cửa sổ 1 có ô tô. Khi đó, sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn ngẫu nhiên một trong hai cửa số 2 và 3 để mở ra. Do đó, việc chọn cửa số 2 hay cửa số 3 có khả năng như nhau. Vậy $P (H | E_{1}) = \frac{1}{2}$ .

Nếu $E_{2}$ xảy ra, tức là cửa số 2 có ô tô. Khi đó, người quản trò chắc chắn phải mở cửa số 3. Do đó $P (H | E_{2}) = 1$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để chứng minh: Cho hai biến cố A và B bất kì, với $P (B) > 0$ . Khi đó, $P (A | B) = \frac{P (A B)}{P (B)}$ .

Sử dụng kiến thức về công thức nhân xác suất để tính: Với hai biến cố A, B bất kì ta có: $P (A B) = P (B) . P (A | B)$ .

Lời giải chi tiết:

a) Vì chỉ có một chiếc ô tô đằng sau ba cánh cửa nên $P (E_{1}) = P (E_{2}) = P (E_{3}) = \frac{1}{3}$ .

Nếu $E_{1}$ xảy ra, tức là sau cửa sổ 1 có ô tô. Khi đó, sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn ngẫu nhiên một trong hai cửa số 2 và 3 để mở ra. Do đó, việc chọn cửa số 2 hay cửa số 3 có khả năng như nhau. Vậy $P (H | E_{1}) = \frac{1}{2}$ .

Nếu $E_{2}$ xảy ra, tức là cửa số 2 có ô tô. Khi đó, người quản trò chắc chắn phải mở cửa số 3. Do đó $P (H | E_{2}) = 1$ .

b) Ta có: $P (E_{1} | H) = \frac{P (E_{1} H)}{P (H)} = \frac{P (E_{1}) . P (H | E_{1})}{P (H)}$ ;

$P (E_{2} | H) = \frac{P (E_{2} H)}{P (H)} = \frac{P (E_{2}) . P (H | E_{2})}{P (H)}$ .

c) Vì $P (E_{1} | H) = \frac{P (E_{1}) . P (H | E_{1})}{P (H)}$ , $P (E_{2} | H) = \frac{P (E_{2}) . P (H | E_{2})}{P (H)}$ , $P (H | E_{1}) = \frac{1}{2}$ và $P (H | E_{2}) = 1$ nên $P (E_{2} | H) = 2 P (E_{1} | H)$ do đó người đó nên chuyển sang cửa còn lại.