Giải mục 2 trang 69, 70 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 69 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ .

a) Giải thích vì sao $\vec{i} . \vec{i} = 1$ và $\vec{i} . \vec{j} = \vec{i} . \vec{k} = 0$ .

b) Sử dụng biểu diễn $\vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ để tính các tích vô hướng $\vec{a} . \vec{i}; \vec{a} . \vec{j}$ và $\vec{a} . \vec{k}$ .

c) Sử dụng biểu diễn $\vec{b} = x^{'} \vec{i} + y^{'} \vec{j} + z^{'} \vec{k}$ để tính các tích vô hướng $\vec{a} . \vec{b}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ . Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số, kí hiệu là $\vec{a} \cdot \vec{b}$ , được xác định bởi công thức sau: $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos (\vec{a}, \vec{b})$ .

Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Cho hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ . Khi đó, $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ .

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\vec{i} . \vec{i} = | \vec{i} | . | \vec{i} | . \cos 0^{0} = {| \vec{i} |}^{2} = 1$ .

Vì $\vec{i} ⊥ \vec{j} \Rightarrow \vec{i} . \vec{j} = 0$ ; $\vec{i} ⊥ \vec{k} \Rightarrow \vec{i} . \vec{k} = 0$ .

b) Ta có:

$\vec{a} . \vec{i} = (x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}) \vec{i}$

$= x . {\vec{i}}^{2} + y \vec{. j} . \vec{i} + z . \vec{k} . \vec{i} = x$ .

$\vec{a} . \vec{j} = (x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}) \vec{j}$

$= x \vec{i} . \vec{j} + y {\vec{j}}^{2} + z \vec{k} . \vec{j} = y$ .

$\vec{a} . \vec{k} = (x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}) . \vec{k}$

$= x \vec{i} . \vec{k} + y \vec{j} . \vec{k} + z . {\vec{k}}^{2} = z$ .

c) Ta có:

$\vec{a} . \vec{b} = (x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}) . (x^{'} \vec{i} + y^{'} \vec{j} + z^{'} \vec{k})$

$= x x^{'} {\vec{i}}^{2} + x y^{'} . \vec{i} . \vec{j} + x z^{'} \vec{i} . \vec{k} + x^{'} y . \vec{i} . \vec{j}$

$+ y y^{'} . {\vec{j}}^{2} + y z^{'} \vec{j} . \vec{k} + z x^{'} . \vec{k} . \vec{i} + z y^{'} . \vec{k} \vec{j} + z z^{'} {\vec{k}}^{2}$ .

Mà $\vec{i} . \vec{k} = 0; \vec{i} . \vec{j} = 0; \vec{j} . \vec{k} = 0$ nên: $\vec{a} . \vec{b} = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ .

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 69 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong Ví dụ 3, tính ${(\vec{a} + \vec{b})}^{2}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ . Ta có:

+ $\vec{a} + \vec{b} = (x + x^{'}; y + y^{'}; z + z^{'})$ .

+ $k \vec{a} = (k x; k y; k z)$ với k là một số thực.

+ $\vec{a} . \vec{b} = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${\vec{a}}^{2} = 1^{2} + 4^{2} + 2^{2} = 21$ ;

${\vec{b}}^{2} = {(- 4)}^{2} + 1^{2} + 0 = 17$ ;

$\vec{a} . \vec{b} = 0$ .

Do đó, ${(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} + 2. \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$

$= 21 + 2.0 + 17 = 38$ .

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 70 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho $A (0; 2; 1), B (3; - 2; 1)$ và $C (- 2; 5; 7)$ .

a) Tính chu vi của tam giác ABC.

b) Tính $\hat{B A C}$ .

Phương pháp giải:

a) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ và $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ thì $A B = | \vec{A B} | = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$ .

b) Sử dụng kiến thức về cosin góc của 2 vectơ trong không gian để tính: Nếu $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ là hai vectơ khác $\vec{0}$ thì $\cos (\vec{a}; \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} . \sqrt{x^{' 2} + y^{' 2} + z^{' 2}}}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\vec{A B} (3; - 4; 0) \Rightarrow A B = \sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2}} = 5$ ;

$\vec{A C} (- 2; 3; 6) \Rightarrow A C = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 3^{2} + 6^{2}} = 7$ .

$\vec{B C} = (- 5; 7; 6) \Rightarrow B C = \sqrt{{(- 5)}^{2} + 7^{2} + 6^{2}} = \sqrt{110}$ .

Chu vi tam giác ABC là: $5 + 7 + \sqrt{110} = 12 + \sqrt{110}$ .

b) $\cos (\vec{A B}; \vec{A C}) = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{| \vec{A B} | . | \vec{A C} |} = \frac{3. (- 2) + (- 4) .3 + 0.6}{5.7} = \frac{- 18}{35}$ .

$\Rightarrow \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) \approx 121^{o}$ .

Vậy $\hat{B A C} = 121^{o}$ .