Giải mục 2 trang 69, 70 SGK Toán 8 – Chân trời sáng tạo

HĐ 2

Video hướng dẫn giải

a) Cho hình thang cân $A B C D$ có hai đáy là $A B$ và $C D$ ( $A B > C D$ . Qua $C$ vẽ đường thẳng song song với $A D$ và cắt $A B$ tại $E$ (Hình 6a)

i) Tam giác $C E B$ là tam giác gì? Vì sao?

ii) So sánh $A D$ và $B C$

b) Cho hình thang cân $M N P Q$ có hai đáy là $M N$ và $P Q$ (Hình 6). So sánh $M P$ và $N Q$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về góc tạo bởi hai đường thẳng song song (góc đồng vị) và định nghĩa hình thang cân để chỉ ra $\hat{C E B} = \hat{C B E}$ (do cùng bằng $\hat{D A E}$ )

Lời giải chi tiết:

a) i) $A B C D$ là hình thang cân (gt)

$\Rightarrow \hat{A} = \hat{B}$ (1) và $D C$ // $A E$

Vì $A D / / C E$ (gt)

$\hat{A} = \hat{C E B}$ (cặp góc đồng vị) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\hat{C E B} = \hat{B}$

Suy ra $Δ C E B$ là tam giác cân.

ii) $Δ C E B$ cân tại $C$ (cmt)

Suy ra: $C E = B C$ (3)

Xét $Δ A D E$ và $Δ C E D$ ta có:

$\hat{A D E} = \hat{C E D}$ ( $A D$ // $C E$ , cặp góc so le trong)

$D E$ chung

$\hat{A E D} = \hat{C D E}$ ( $C D$ // $A B$ , cặp góc so le trong)

Suy ra: $Δ A D E = Δ C E D$ (g-c-g)

Suy ra: $A D = C E$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra: $A D = B C$

b) Chứng minh tương tự như ý a) ta có: Hình thang cân $M N P Q$ có hai cạnh bên $M Q = N P$

Xét tam giác $Δ M Q P$ và $Δ N P Q$ ta có:

$M Q = N P$ (cmt)

$\hat{M Q P} = \hat{N P Q}$ (do $M N P Q$ là hình thang cân)

$P Q$ chung

Suy ra: $Δ M Q P = Δ N P Q$ (c-g-c)

$\Rightarrow M P = N Q$ (hai cạnh tương ứng)

TH 2

Video hướng dẫn giải

Tìm các đoạn thẳng bằng nhau trong hình thang cân $M N P Q$ có hai đáy $M N$ và $P Q$

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của hình thang cân.

Lời giải chi tiết:

Vì $M N P Q$ là hình thang cân (gt)

Suy ra: $M P = N Q$ và $M Q = N P$

VD 3

Video hướng dẫn giải

Một khung cửa sổ hình thang cân có chiều cao 3m, hai đáy là 3m và 1m (Hình 9). Tìm độ dài hai cạnh bên và hai đường chéo.

Phương pháp giải:

Kẻ đường cao $B K$

Sử dụng tính chất của hình thang cân

Lời giải chi tiết:

Kẻ đường cao $B K$

Suy ra $A H = B K$ và $A H K B$ là hình chữ nhật

Suy ra $H K = A B = 1$ cm

Vì $A B C D$ là hình thang cân (gt)

$\Rightarrow A C = B D$ và $A D = B C$ (tc)

Xét $Δ A H D$ và $Δ B K C$ ta có:

$\hat{A H D} = \hat{B K C} = 90^{\circ}$ (gt)

$\hat{D} = \hat{C}$ (định nghĩa hình thang cân)

$A D = B C$ (tính chất hình thang cân)

Suy ra: $Δ A H D = Δ B K C$ (ch – gn)

Suy ra $D H = K C$ (hai cạnh tương ứng)

Suy ra $D H = K C = \frac{C D - H K}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1$ (cm)

Suy ra $H C = 2$ (cm)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông $A H D$ ta có:

$A D^{2} = D H^{2} + A H^{2} = 1^{2} + 3^{2} = 10$

Suy ra $A D = \sqrt{10}$ (cm)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông $A C H$ ta có:

$A C^{2} = A H^{2} + H C^{2} = 3^{2} + 2^{2} = 9 + 4 = 13$

$A C = \sqrt{13}$ (cm)

Vậy $A C = B D = \sqrt{13}$ cm; $A D = B C = \sqrt{10}$ cm