Giải mục 2 trang 72, 73

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 72 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho hai hàm số \y = f(x) = 2x\) và $y=g\left(x\right)=\frac{x}{x+1}$.

a) Giả sử $\left(x_n\right)$ là dãy số bất kì thoả mãn $x_n\ne -1$ với mọi $n$ và $x_n\to 1$ khi $n\to +\infty$. Tìm giới hạn $lim\left[f\left(x_n\right)+g\left(x_n\right)\right]$.

b) Từ đó, tìm giới hạn $\underset{x\to 1}{lim}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]$, và so sánh với $\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)+\underset{x\to 1}{lim}g\left(x\right)$.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng các công thức tính giới hạn hữu hạn của dãy số.

b) Tính $\underset{x\to 1}{lim}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right],\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right),\underset{x\to 1}{lim}g\left(x\right)$ bằng cách đưa về tính giới hạn của dãy số $\left(x_n\right)$ thỏa mãn $x_n\to x_0$ khi $n\to +\infty$ sau đó so sánh.

Lời giải chi tiết:

a) $lim\left[f\left(x_n\right)+g\left(x_n\right)\right]=lim\left(2x_n+\frac{x_n}{x_n+1}\right)=2lim{x}_n+lim\frac{x_n}{x_n+1}=2.1+\frac{1}{1+1}=\frac{5}{2}$

b) Vì $lim\left[f\left(x_n\right)+g\left(x_n\right)\right]=\frac{5}{2}$ nên $\underset{x\to 1}{lim}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=\frac{5}{2}$ (1).

Ta có:   $limf\left(x_n\right)=lim2x_n=2lim{x}_n=2.1=2\Rightarrow \underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)=2$

$limg\left(x_n\right)=lim\frac{x_n}{x_n+1}=lim\frac{x_n}{x_n+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\Rightarrow \underset{x\to 1}{lim}g\left(x\right)=\frac{1}{2}$

Vậy $\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)+\underset{x\to 1}{lim}g\left(x\right)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\underset{x\to 1}{lim}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)+\underset{x\to 1}{lim}g\left(x\right)$

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 73 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -2}{lim}\left(x^2+5x-2\right)$;      

b) $\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-1}{x-1}$.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lý giới hạn hữu hạn của hàm số.

b) Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử.

Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu.

Bước 3: Áp dụng định lý giới hạn hữu hạn của hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) $\underset{x\to -2}{lim}\left(x^2+5x-2\right)=\underset{x\to -2}{lim}{x}^2+\underset{x\to -2}{lim}\left(5x\right)-\underset{x\to -2}{lim}2$

$=\underset{x\to -2}{lim}{x}^2+5\underset{x\to -2}{lim}x-\underset{x\to -2}{lim}2={\left(-2\right)}^2+5.\left(-2\right)-2=-8$.

b) $\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}$

$=\underset{x\to 1}{lim}\left(x+1\right)=\underset{x\to 1}{lim}x+\underset{x\to 1}{lim}1=1+1=2$