Giải mục 2 trang 73, 74

Tọa độ trung điểm đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 73 SGK Toán 12 Cánh diều

a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ và $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ . Gọi $M (x_{M}; y_{M}; z_{M})$ là trung điểm đoạn thẳng AB.

- Biểu diễn vecto $\vec{O M}$ theo hai vecto $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ .

- Tính tọa độ của điểm M theo tọa độ của các điểm $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ và $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ .

b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có trọng tâm G.

- Biểu diễn vecto $\vec{O G}$ theo ba vecto $\vec{O A}$ , $\vec{O B}$ và $\vec{O C}$ .

- Tính tọa độ của điểm G theo tọa độ của các điểm $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ , $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ và $C (x_{C}; y_{C}; z_{C})$ .

Phương pháp giải:

Cho tam giác ABC có $A (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ , $B (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ , $C (c_{1}; c_{2}; c_{3})$ , ta có $M (\frac{a_{1} + b_{1}}{2}; \frac{a_{2} + b_{2}}{2}; \frac{a_{3} + b_{3}}{2})$ là trung điểm của AB, $G (\frac{a_{1} + b_{1} + c_{1}}{3}; \frac{a_{2} + b_{2} + c_{2}}{3}; \frac{a_{3} + b_{3} + c_{3}}{3})$ là trọng tâm của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết:

a) M là trung điểm của AB nên $\vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ .

Suy ra $\vec{O M} = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$ .

Tọa độ của điểm M là: $M (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$ .

b) G là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$ .

Suy ra $\vec{O G} = (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3})$ .

Tọa độ điểm G là: $G (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3})$ .

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 74 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho ba điểm A(0;-1;1), B(1;0;5). G(1;2;0).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\vec{A B} = (1; 1; 4)$ , $\vec{A G} = (1; 3; - 1)$ .

Vì $\frac{1}{1} \neq \frac{1}{3} \neq \frac{4}{- 1}$ nên không có giá trị k nào để $\vec{A B} = k \vec{A G}$ , do đó $\vec{A B}$ và $\vec{A G}$ không cùng phương.

Vậy A, B, G không thẳng hàng.

b) G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

${\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} \\ z_{G} = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 1 = \frac{0 + 1 + x_{C}}{3} \\ 2 = \frac{- 1 + 0 + y_{C}}{3} \\ 0 = \frac{1 + 5 + z_{C}}{3} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{C} = 2 \\ y_{C} = 7 \\ z_{C} = - 6 \end{cases}$

Vậy C(2;7;-6).