Giải mục 2 trang 74, 75

HĐ 2

a) Cắt một tam giác bằng giấy. Gấp lại để xác định trung điểm một cạnh của nó. Kẻ đoạn thẳng nối trung điểm này với đỉnh đối diện (Hình 4). Bằng cách tương tự, hãy vẽ tiếp hai đường trung tuyến còn lại.

Quan sát tam giác trên hình, em thấy ba đường trung tuyến vừa vẽ có cùng đi qua một điểm hay không.

b) Em hãy đếm ô rồi vẽ lại tam giác ABC trong Hình 5 vào giấy kẻ ô vuông. Vẽ hai đường trung tuyến BE và CF của tam giác ABC. Hai đường trung tuyến này cắt nhau tại G. Tia AG cắt BC tại D.

Em hãy quan sát vào cho biết:

- AD có phải đường trung tuyến của tam giác ABC hay không?

- Các tỉ số $\frac{BG}{BE}$, $\frac{CG}{CF}$, $\frac{AG}{AD}$ bằng bao nhiêu ? 

Lời giải chi tiết:

a)- Ta xác định trung điểm 1 cạnh bằng cách gấp sao cho 2 đỉnh của tam giác trùng nhau, khi đó giao của nét gấp đi qua 1 cạnh của tam giác sẽ là trung điểm của cạnh đó

- Rồi từ các trung điểm vừa xác định được ta kẻ các đường trung tuyến của tam giác từ các đỉnh

- Nhận xét : Ta thấy 3 đường trung tuyến trong tam giác này đều sẽ đi qua 1 điểm

b)

- Ta nối dài đoạn AG sao cho AG cắt BC tại 1 điểm

- Ta thấy điểm giao nhau giữa AG và BC chính là trung điểm của BC

- Nên AG là trung tuyến của tam giác ABC

- Ta sẽ sử dụng số đo dựa trên các ô để xét tỉ số giữa các đoạn thẳng

$\frac{BG}{BE}=\frac{2}{3};\frac{CG}{CF}=\frac{4}{6};\frac{AG}{AD}=\frac{4.4}{6.6}$

- Ta thấy sau khi rút gọn các tỉ số ta có :

$\frac{BG}{BE}=\frac{CG}{CF}=\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$

Thực hành 2

Trong Hình 7, G là trọng tâm của tam giác AEF với đường trung tuyến AM.

Hãy tính các tỉ số:

a) $\frac{GM}{AM}$                   

b) $\frac{GM}{AG}$              

c) $\frac{AG}{GM}$

Phương pháp giải:

- Ta dựa vào định lí ba đường trung tuyến cắt nhau tại 1 điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$độ dài trung tuyến đi qua đỉnh ấy

Lời giải chi tiết:

a) Vì G là trọng tâm của tam giác AEF với đường trung tuyến AM nên theo định lí 3 đường trung tuyến cắt nhau tại trọng tâm ta có :

$\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}$$\Rightarrow \frac{GM}{AM}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

b) Vì $\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}$ và $\frac{GM}{AM}=\frac{1}{3}$(theo câu a)

$\Rightarrow \frac{GM}{AG}=\frac{1}{2}$

c) Vì $\frac{GM}{AG}=\frac{1}{2}$(chứng minh b)

$\Rightarrow \frac{AG}{GM}=2$

Vận dụng 2

Cho tam giác ABC có O là trung điểm của BC, trên tia đối của tia OA, lấy điểm D sao cho OA = OD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và BCD. Chứng minh rằng AI = IJ = JD.

Phương pháp giải:

- Ta dựa vào định lí ba đường trung tuyến cắt nhau tại 1 điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$độ dài trung tuyến đi qua đỉnh ấy .

- Ta sẽ chứng minh AI = IJ = JD = $\frac{2}{3}$AO = $\frac{2}{3}$OD

Lời giải chi tiết:

Vì I là trọng tâm tam giác ABC theo giả thiết nên ta có

$AI=\frac{2}{3}AO=2IO$(định lí về trọng tâm trong tam giác)

Tương tự J là trọng tâm tam giác BCD nên ta có :

$DJ=\frac{2}{3}OD=2OJ$ (định lí về trọng tâm trong tam giác)

Mà OA = OD (giả thiết)

$\Rightarrow AI=DJ=\frac{2}{3}OA=\frac{2}{3}OD=2OI=2OJ$

Mà OI = OJ do cùng $=\frac{1}{3}OA=\frac{1}{3}OD$(tính chất trọng tâm trong tam giác)

$\Rightarrow 2OI=2OJ=2\frac{1}{3}AO=2\frac{1}{3}OD=IJ$

$\Rightarrow AI=DJ=IJ=\frac{2}{3}OA=\frac{2}{3}OD$(điều phải chứng minh)