Giải mục 2 trang 74, 75

Cho hai tam giác vuông

HĐ2

Video hướng dẫn giải

Cho hai tam giác vuông $A B C$ và $D E F$ có các kích thước như Hình 4.

a) Hãy tính độ dài cạnh $A C$ và $D F$ .

b) So sánh các tỉ số $\frac{A B}{D E}; \frac{A C}{D F}$ và $\frac{B C}{E F}$ .

c) Dự đoán sự đồng dạng của hai tam giác $A B C$ và $D E F$ .

Phương pháp giải:

- Sử dụng định lí Py – ta – go.

- Chứng minh tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh

Lời giải chi tiết:

a) Xét tam giác $A B C$ vuông tại $A$ ta có:

$A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$ (định lí Py – ta – go)

$\Leftrightarrow 6^{2} + A C^{2} = 10^{2} \Leftrightarrow A C^{2} = 10^{2} - 6^{2} = 64 \Leftrightarrow A C = 8$ .

Xét tam giác $D E F$ vuông tại $D$ ta có:

$D E^{2} + D F^{2} = E F^{2}$ (định lí Py – ta – go)

$\Leftrightarrow 9^{2} + D F^{2} = 15^{2} \Leftrightarrow D F^{2} = 15^{2} - 9^{2} = 144 \Leftrightarrow D F = 12$ .

b) Tỉ số:

$\frac{A B}{D E} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}; \frac{A C}{D F} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ ; $\frac{B C}{E F} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ .

Do đó, $\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F} = \frac{B C}{E F} = \frac{2}{3}$ .

c) Xét tam giác $A B C$ và tam giác $D E F$ có:

$\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F} = \frac{B C}{E F} = \frac{2}{3}$ (chứng minh trên)

Do đó, $Δ A B C ∽ Δ D E F$ (c.c.c)

TH2

Video hướng dẫn giải

Trong Hình 6, tam giác nào đồng dạng với tam giác $D E F$ ?

Phương pháp giải:

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết:

Tỉ số:

$\frac{D E}{A C} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}; \frac{E F}{B C} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$ .

Xét tam giác $D E F$ và tam giác $A B C$ có:

$\frac{D E}{A C} = \frac{E F}{B C} = \frac{3}{4}$ (chứng minh trên)

Do đó, $Δ D E F ∽ Δ A B C$ .

Tỉ số:

$\frac{D E}{M N} = \frac{6}{3} = 2; \frac{E F}{N P} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$ .

Vì $\frac{D E}{M N} \neq \frac{E F}{N P}$ nên hai tam giác $D E F$ và $M N P$ không đồng dạng với nhau.

Tỉ số:

$\frac{D E}{R S} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}; \frac{E F}{S T} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ .

Vì $\frac{D E}{R S} \neq \frac{E F}{S T}$ nên hai tam giác $D E F$ và $S R T$ không đồng dạng với nhau.

VD2

Video hướng dẫn giải

Trong Hình 7, biết $Δ M N P ∽ Δ A B C$ với tỉ số đồng dạng $k = \frac{M N}{A B}$ , hai đường cao tương ứng là $M K$ và $A H$ .

a) Chứng minh rằng $Δ M N K ∽ Δ A B H$ và $\frac{M K}{A H} = k$ .

b) Gọi $S_{1}$ là diện tích tam giác $M N P$ và $S_{2}$ là diện tích tam giác $A B C$ . Chứng minh rằng $\frac{S_{1}}{S_{2}} = k^{2}$ .

Phương pháp giải:

- Nếu một tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

- Diện tích tam giác vuông bằng một nửa tích hai cạnh góc vuông.

Lời giải chi tiết:

a) Vì tam giác $Δ M N P ∽ Δ A B C$ nên $\hat{B} = \hat{N}$ (hai góc tương ứng).

Vì $M K$ là đường cao nên $\hat{M K N} = 90^{\circ}$ ;Vì $A H$ là đường cao nên $\hat{A H B} = 90^{\circ}$

Xét $Δ M N K$ và $Δ A B H$ có:

$\hat{B} = \hat{N}$ (chứng minh trên)

$\hat{M K N} = \hat{A H B} = 90^{\circ}$

Do đó, $Δ M N K ∽ Δ A B H$ (g.g)

Vì $Δ M N K ∽ Δ A B H$ nên ta có: $\frac{M N}{A B} = \frac{N K}{B H} = \frac{M K}{A H} = k \Rightarrow \frac{M K}{A H} = k$ .

b) Vì $Δ M N P ∽ Δ A B C$ nên $\frac{M N}{A B} = \frac{N P}{B C} = \frac{M P}{A C} = k$

$\Rightarrow \frac{N P}{B C} = k \Leftrightarrow N P = k B C$

Vì $\frac{M K}{A H} = k \Rightarrow M K = k A H$

Diện tích tam giác $M N P$ là:

$S_{1} = \frac{1}{2} . M K . N P$ (đvdt)

Diện tích tam giác $A B C$ là:

$S_{2} = \frac{1}{2} . A H . B C$ (đvdt)

Ta có: $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\frac{1}{2} . M K . N P}{\frac{1}{2} . A H . B C} = \frac{k A H . k B C}{A H . B C} = k^{2}$ (điều phải chứng minh)