Giải mục 2 trang 76, 77, 78, 79

HĐ 4

Hình 11a là hình chụp tấm lưới thép được đan thành nhiều mắt. Hình 11b là hình vẽ phóng to của một mắt lưới. Đo độ dài các cạnh của tứ giác $ABCD$ và rút ra nhận xét.

Phương pháp giải:

Sử dụng thước đo độ dài các cạnh của tứ giác

Lời giải chi tiết:

Các cạnh của tứ giác $ABCD$ có độ dài bằng nhau

HĐ 5

a) Hình thoi có là hình bình hành không?

b) Cho hình thoi $ABCD$ có $O$ là giao điểm của hai đường chéo (Hình 13b). Các tam giác $OAB$, $OCB$, $OCD$, $OAD$ có bằng nhau không?

Phương pháp giải:

a) Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình bình hành

b) Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác

Lời giải chi tiết:

a) Hình thoi cũng là hình bình hànhs

b) Vì $ABCD$ là hình thoi (gt)

Suy ra $ABCD$ cũng là hình bình hành

Suy ra $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$

Suy ra $OA=OC$; $OB=OD$

Các tam giác $OAB$; $OCB$; $OCD$; $OAD$ bằng nhau theo trường hợp c-c-c

TH 3

Cho hình thoi $MNPQ$ có $I$ là giao điểm của hai đường chéo.

a) Tính $MP$ khi biết $MN=10$dm, $IN=6$dm

b) Tính $\widehat{IMN}$ khi $\widehat{MNP}={128}^{\circ }$

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của hình thoi

Lời giải chi tiết:

a) Vì $MNPQ$ là hình thoi (gt)

Suy ra $IM=IP$ và $NQ\perp MP$

Suy ra $\widehat{MIN}=90$

Xét tam giác vuông $MPI$ (vuông tại $I$) ta có:

$M{I}^2=M{N}^2-N{I}^2={10}^2-6^2=100-36=64$ (định lý Pythagore)

Suy ra $MI=8$ (dm)

b) Vì $MNPQ$ là hình thoi (gt)

Suy ra $NI$ là phân giác của $\widehat{MNP}$

Suy ra $\widehat{MNI}=\widehat{PNI}=\frac{{128}^{\circ }}{2}={64}^{\circ }$

Xét $\Delta MNI$ vuông tại $I$ ta có:

$\widehat{MNI}+\widehat{NMI}=90$

Suy ra $\widehat{IMN}={90}^{\circ }-\widehat{MNI}={90}^{\circ }-{64}^{\circ }={26}^{\circ }$

VD 4

Tính độ dài cạnh của các khuy áo hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là $3,2$cm và $2,4$cm.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của hình thoi

Lời giải chi tiết:

Do hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau tạo thành 4 tam giác vuông bằng nhau nên áp dụng định lý Pythagore vào mỗi tam giác vuông, ta có độ dài cạnh hình vuông là:

$\sqrt{{\left(\frac{3,2}{2}\right)}^2+{\left(\frac{2,4}{2}\right)}^2}=\sqrt{4}=2$ (cm)

HĐ 6

Cho $ABCD$ là một hình bình hành. Giải thích tại sao tứ giác $ABCD$ có bốn cạnh bằng nhau trong mỗi trường hợp sau:

Trường hợp 1: $AB=AD$

Trường hợp 2: $AC$ vuông góc với $BD$

Trường hợp 3: $AC$ là phân giác góc $BAD$

Trường hợp 4: $BD$ là phân giác góc $ABC$

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của hình bình hành

Lời giải chi tiết:

a) Vì $ABCD$ là hình bình hành (gt)

Suy ra : $AB=CD$; $AD=BC$ (1)

$O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$

TH1: Nếu $AB=AD$ suy ra $AB=BC=CD=AD$

TH2: $AC$ vuông góc với $BD$

Suy ra bốn tam giác vuông $OAB$, $OAD$, $OCD$, $COB$ bằng nhau

Suy ra $AB=BC=CD=DA$

TH3: $AC$ là phân giác của góc $BAD$

Suy ra $AO$ là phân giác của góc $BAD$

Mà $AO$ là trung tuyến của $\Delta ABD$

Suy ra $\Delta ABD$ cân tại $A$

Suy ra $AB=AD$ (3)

Từ (1), (3) suy ra $AB=BC=CD=DA$
TH4: Chứng minh tương tự

VD 5

Một hoa văn trang trí được ghép bởi ba hình tứ giác có độ dài mỗi cạnh đều bằng 2cm (hình 18). Gọi tên các tứ giác này và tính chu vi của hoa văn.

Phương pháp giải:

Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình thoi

Lời giải chi tiết:

Các tứ giác trên là hình thoi vì có 4 cạnh bằng nhau

Chu vi của hoa văn là: $2\times 4\times 3=24$ (cm)

VD 6

Một tứ giác có chu vi là $52$ cm và một đường chéo là $24$cm. Tính độ dài của mỗi cạnh và đường chéo còn lại nếu biết hai đường chéo vuông góc tại trung điểm của mỗi đường.

Phương pháp giải:

Chứng minh tứ giác là hình thoi

Tính độ dài cạnh, đường chéo

Lời giải chi tiết:

Do tứ giác có hai đường chéo vuông góc tại trung điểm của mỗi đường (gt)

Suy ra tứ giác là hình thoi

Độ dài cạnh là $52:4=13$ (cm)

Do hình thoi có hai đường chéo vuông góc, tạo thành 4 tam giác vuông bằng nhau.

Độ dài nửa đường chéo còn lại là: $\sqrt{{13}^2-{\left(24:2\right)}^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$ (cm)

Độ dài đường chéo còn lại là: $5.2=10$ (cm)