Giải mục 2 trang 76

a) Cho đường thẳng (a) song song với mặt phẳng (left( P right)).

Hoạt động 2

a) Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$ . Lấy hai điểm $A, B$ tuỳ ý trên $a$ và gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ và $B$ trên $(P)$ (Hình 4a). So sánh độ dài hai đoạn thẳng $A H$ và $B K$ .

b) Cho hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$ . Lấy hai điểm $A, B$ tuỳ ý trên $(P)$ và gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ và $B$ trên $(Q)$ (Hình 4b). So sánh độ dài hai đoạn thẳng $A H$ và $B K$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của phép chiếu vuông góc.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\begin{array}{l} A H ⊥ (P) \\ B K ⊥ (P) \end{array}} \Rightarrow A H ∥ B K$

Mà $A B ∥ H K$

$\Rightarrow A B K H$ là hình bình hành có $A H ⊥ (P) \Rightarrow A H ⊥ H K \Rightarrow \hat{A H K} = 90^{\circ}$

Vậy $A B K H$ là hình chữ nhật.

Vậy $A H = B K$ .

b) Ta có:

$\begin{array}{l} A H ⊥ (Q) \\ B K ⊥ (Q) \end{array}} \Rightarrow A H ∥ B K$

Mà $A B ∥ H K$

$\Rightarrow A B K H$ là hình bình hành có $A H ⊥ (Q) \Rightarrow A H ⊥ H K \Rightarrow \hat{A H K} = 90^{\circ}$

Vậy $A B K H$ là hình chữ nhật.

Vậy $A H = B K$ .

Thực hành 2

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh bằng $a$ . Tính khoảng cách:

a) Giữa hai mặt phẳng $(A C D^{'})$ và $(A^{'} C^{'} B)$ .

b) Giữa đường thẳng $A B$ và $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ .

Phương pháp giải:

Đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $(A C D^{'}) / / (B A^{'} C^{'})$

$\Rightarrow d ((A C D^{'}), (B A^{'} C^{'})) = d (B, (A C D^{'}))$

$= d (D, (A C D^{'}))$ .

Gọi I là hình chiếu vuông góc của D trên OD'.

Ta có: ${\begin{array}{l} A C ⊥ B D \\ D D^{'} ⊥ (A B C D) \end{array} \Rightarrow {\begin{array}{l} A C ⊥ B D \\ D D^{'} ⊥ A C \end{array}$

$\Rightarrow A C ⊥ (B D D^{'} B^{'}) \Rightarrow A C ⊥ D I$ và $D I ⊥ O D^{'}$

$\Rightarrow D I ⊥ (D^{'} A C) \Rightarrow d (D, (D^{'} A C)) = D I$ .

- Xét tam giác ABD vuông tại A nên ta có:

$B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = a \sqrt{2} \Rightarrow O D = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

- Xét tam giác D'DO vuông tại D có DI là đường cao nên:

$\frac{1}{D I^{2}} = \frac{1}{O D^{2}} + \frac{1}{D D^{' 2}} = \frac{2}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{3}{a^{2}}$

$\Rightarrow d ((A C D^{'}), (A^{'} C^{'} B^{'})) = D I = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

b) Ta có: AB // (A'B'C'D').

Do đó $d (A B, (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})) = A A^{'} = a$ .