Giải mục 2 trang 8, 9

KP3

Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

a) Giải thích tại sao $\int 0dx=C$ và $\int 1dx=x+C$.

b) Tìm đạo hàm của hàm số $F\left(x\right)=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}$ $\left(\alpha \ne -1\right)$. Từ đó, tìm $\int x^{\alpha }dx$.

Phương pháp giải:

a) Để chứng minh $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)$, ta cần chỉ ra rằng $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$, với lần lượt $F\left(x\right)=C$ và $F\left(x\right)=x+C$.

b) Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của $F\left(x\right)=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}$ và kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Do $C^{\prime }=0$ nên hàm số $F\left(x\right)=C$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=0$. Như vậy $\int 0dx=C$.

Do $x^{\prime }=1$ nên hàm số $F\left(x\right)=x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=1$. Như vậy $\int 1dx=x+C$.

b) Ta có $F^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\right)}^{\prime }=\frac{\left(\alpha +1\right)x^{\alpha }}{\alpha +1}=x^{\alpha }$. Vậy ta có $F\left(x\right)=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}$ $\left(\alpha \ne -1\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^{\alpha }$. Do đó $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$.

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tìm:

a) $\int x^{4}dx$.

b) $\int \frac{1}{x^3}dx$.

c) $\int \sqrt{x}dx$$\left(x>0\right)$.

Phương pháp giải:

Biến đổi các biểu thức về dạng $\int x^{\alpha }dx$ và sử dụng công thức $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$.

Lời giải chi tiết:

a) $\int x^{4}dx=\frac{x^{4+1}}{4+1}+C=\frac{x^5}{5}+C$.

b) $\int \frac{1}{x^3}dx=\int x^{-3}dx=\frac{x^{-3+1}}{-3+1}+C=\frac{x^{-2}}{-2}+C=-\frac{1}{2x^2}+C$.

c) $\int \sqrt{x}dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+C$.

KP4

Trả lời câu hỏi Khám phá 4 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số $F\left(x\right)=\ln \left|x\right|$ với $x\ne 0$.

a) Tìm đạo hàm của $F\left(x\right)$.

b) Từ đó, tìm $\int \frac{1}{x}dx$.

Phương pháp giải:

a) Với $x>0$, ta có $F\left(x\right)=\ln \left|x\right|=\ln x$. Với $x<0$, ta có $F\left(x\right)=\ln \left|x\right|=\ln \left(-x\right)$, sau đó tính đạo hàm của $F\left(x\right)$ trong từng trường hợp trên.

b) Từ câu a, rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Với $x>0$, ta có $F\left(x\right)=\ln \left|x\right|=\ln x$.

Đạo hàm của $F\left(x\right)$ trên $\left(0;+\infty \right)$ là: $F^{\prime }\left(x\right)={\left(\ln x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}$.

Với $x<0$, ta có $F\left(x\right)=\ln \left|x\right|=\ln \left(-x\right)$.

Đạo hàm của $F\left(x\right)$ trên $\left(-\infty ;0\right)$ là: $F^{\prime }\left(x\right)={\left(\ln x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}$.

Vậy ta có đạo hàm của $F\left(x\right)$ trên $R\setminus \left\{0\right\}$ là $F^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x}$.

b) Từ câu a, ta có $F\left(x\right)=\ln \left|x\right|$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$.

Do đó $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$

KP5

Trả lời câu hỏi Khám phá 5 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

a) Tìm đạo hàm của các hàm số $y=\sin x$, $y=-\cos x$, $y=\tan x$, $y=-\cot x$.

b) Từ đó, tìm $\int \cos xdx$, $\int \sin xdx$, $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$, $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng các công thức đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số $y=\sin x$, $y=-\cos x$, $y=\tan x$, $y=-\cot x$.

b) Từ câu a, rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

${\left(\sin x\right)}^{\prime }=\cos x$

${\left(-\cos x\right)}^{\prime }=-\left(-\sin x\right)=\sin x$

${\left(\tan x\right)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

${\left(-\cot x\right)}^{\prime }=-\frac{-1}{{\sin }^{2}x}=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

b) Từ câu a, ta có:

$\int \cos xdx=\sin x+C$

$\int \sin xdx=-\cos x+C$

$\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$

$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}=-\cot x+C$

TH3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tìm nguyên hàm $F\left(x\right)$ của hàm số $f\left(x\right)=\cos x$ thoả mãn $F\left(0\right)+F\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\int \cos xdx=\sin x+C$, sau đó sử dụng điều kiện $F\left(0\right)+F\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ để tìm hằng số $C$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\int \cos xdx=\sin x+C$

Suy ra $F\left(0\right)=\sin 0+C=C$ và $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\sin \frac{\pi }{2}+C=1+C$

Do $F\left(0\right)+F\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ nên $C+\left(1+C\right)=0\Rightarrow C=-\frac{1}{2}$.

Vậy $F\left(x\right)=\sin x-\frac{1}{2}$.

KP6

Trả lời câu hỏi Khám phá 6 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

a) Tìm đạo hàm của các hàm số $y=e^x$, $y=\frac{a^x}{\ln a}$ với $a>0$, $a\ne 1$.

b) Từ đó, tìm $\int e^{x}dx$ và $\int a^{x}dx$ ($a>0$, $a\ne 1$).

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số $y=e^x$, $y=\frac{a^x}{\ln a}$($a>0$, $a\ne 1$).

b) Từ câu a, rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$ và ${\left(\frac{a^x}{\ln a}\right)}^{\prime }=\frac{a^x\ln a}{\ln a}=a^x$.

b)  Từ câu a, ta có:

$\int e^{x}dx=e^x+C$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

TH4

Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tìm

a) $\int 3^{x}dx$.

b) $\int e^{2x}dx$.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức $\int e^{x}dx=e^x+C$ và $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$.

Lời giải chi tiết:

a) $\int 3^{x}dx=\frac{3^x}{\ln 3}+C$.

b) $\int e^{2x}dx=\int {\left(e^2\right)}^{x}dx=\frac{{\left(e^2\right)}^x}{\ln \left(e^2\right)}+C=\frac{e^{2x}}{2}+C$.