Giải mục 2 trang 80, 81 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 80 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hai điểm M(x; y; z) và I(a; b; c).

a) Viết công thức tính khoảng cách giữa hai điểm M và I.

b) Nêu mối liên hệ giữa x, y và z để M nằm trên mặt cầu tâm I bán kính R.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức tính khoảng cách về hai điểm trong không gian để tính: Cho điểm $A (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ và $B (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ . Khi đó, $A B = \sqrt{{(b_{1} - a_{1})}^{2} + {(b_{2} - a_{2})}^{2} + {(b_{3} - a_{3})}^{2}}$ .

b) Sử dụng kiến thức về vị trí của điểm so với mặt cầu để tìm bán kính của mặt cầu: Cho mặt cầu tâm I, bán kính R và điểm M bất kì trong không gian. Điểm M thuộc mặt cầu tâm I, bán kính R khi và chỉ khi $I M = R$ .

Lời giải chi tiết:

a) Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm M và I là: $I M = \sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2}}$ .

b) Để M nằm trên mặt cầu tâm I bán kính R thì $I M = R$ hay $\sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2}} = R$ .

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 80 SGK Toán 12 Cánh diều

Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: $x^{2} + {(y + 5)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 2$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tìm tâm và bán kính: Phương trình mặt cầu tâm $I (a; b; c),$ bán kính R là: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: $x^{2} + {(y + 5)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 2 \Leftrightarrow x^{2} + {[y - (- 5)]}^{2} + {[z - (- 1)]}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2}$

Mặt cầu có tâm I(0; -5; -1) và bán kính $R = \sqrt{2}$ .

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 80 SGK Toán 12 Cánh diều

Viết phương trình của mặt cầu, biết:

a) Tâm O bán kính R với O là gốc tọa độ;

b) Đường kính AB với A(1; 2; 1), B(3; 4; 7).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để viết phương trình mặt cầu: Phương trình mặt cầu tâm $I (a; b; c),$ bán kính R là: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Mặt cầu có tâm O(0; 0; 0) bán kính R có phương trình là: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$

b) Gọi là trung điểm của AB nên I(2; 3; 4). Do đó, mặt cầu đường kính AB có tâm là I(2; 3; 4) và bán kính $A I = \sqrt{{(2 - 1)}^{2} + {(3 - 2)}^{2} + {(4 - 1)}^{2}} = \sqrt{11}$ nên có phương trình là:

${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 4)}^{2} = 11$ .

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 81 SGK Toán 12 Cánh diều

Chứng minh rằng phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x - 2 y - 4 z - 11 = 0$ là phương trình của một mặt cầu. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để chứng minh: Phương trình mặt cầu tâm $I (a; b; c),$ bán kính R là: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x - 2 y - 4 z - 11 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2. x .3 - 2. y .1 - 2. z .2 - 11 = 0$

$\Leftrightarrow {(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 25$ .