Giải mục 2 trang 82

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 81 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}x+1& khi1<x\le 2\\ k& khix=1\end{array}$.

a) Xét tính liên tục của hàm số tại mỗi điểm $x_0\in \left(1;2\right)$.

b) Tìm $\underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)$ và so sánh giá trị này với $f\left(2\right)$.

c) Với giá trị nào của $k$ thì $\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=k$?

Phương pháp giải:

a) Bước 1: Tính $f\left(x_0\right)$.

Bước 2: Tính $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$ (nếu có).

Bước 3: Kết luận:

• Nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$ thì hàm số liên tục tại điểm $x_0$.

• Nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)\ne f\left(x_0\right)$ hoặc không tồn tại $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$ thì hàm số không liên tục tại điểm $x_0$.

b) Áp dụng các công thức tính giới hạn của hàm số.

c) Tính $\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)$ và giải phương trình $\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=k$.

Lời giải chi tiết:

a) Với mọi điểm $x_0\in \left(1;2\right)$, ta có: $f\left(x_0\right)=x_0+1$.

$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\left(x+1\right)=x_0+1$.

Vì $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)=x_0+1$ nên hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục tại mỗi điểm $x_0\in \left(1;2\right)$.

b) $\underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\left(x+1\right)=2+1=3$.

$f\left(2\right)=2+1=3$.

$\Rightarrow \underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=f\left(2\right)$.

c) $\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(x+1\right)=1+1=2$.

$\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=k\iff 2=k\iff k=2$.

Vậy với $k=2$ thì $\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=k$.

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 82 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Xét tính liên tục của hàm số $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$ trên $\left[1;2\right]$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng $\left(a;b\right)$.

Bước 2: Tính giới hạn $\underset{x\to a^{+}}{lim}f\left(x\right),\underset{x\to b^{-}}{lim}f\left(x\right)$ và so sánh $\underset{x\to a^{+}}{lim}f\left(x\right)$ với $f\left(a\right)$, $\underset{x\to b^{-}}{lim}f\left(x\right)$ với $f\left(b\right)$.

Bước 3: Kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt $f\left(x\right)=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$.

Với mọi $x_0\in \left(1;2\right)$, ta có:

$\begin{array}{c}\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\sqrt{x-1}+\underset{x\to x_0}{lim}\sqrt{2-x}\\ & =\sqrt{\underset{x\to x_0}{lim}x-\underset{x\to x_0}{lim}1}+\sqrt{\underset{x\to x_0}{lim}2-\underset{x\to x_0}{lim}x}=\sqrt{x_0-1}+\sqrt{2-x_0}=f\left(x_0\right)\end{array}$

Vậy hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục tại mọi điểm $x_0\in \left(1;2\right)$.

Ta có:

$\begin{array}{c}\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}\right)\\ =\sqrt{\underset{x\to 1^{+}}{lim}x-\underset{x\to 1^{+}}{lim}1}+\sqrt{\underset{x\to 1^{+}}{lim}2-\underset{x\to 1^{+}}{lim}x}=\sqrt{1-1}+\sqrt{2-1}=1=f\left(1\right).\end{array}$

$\begin{array}{c}\underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}\right)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}\right)\\ =\sqrt{\underset{x\to 2^{-}}{lim}x-\underset{x\to 2^{-}}{lim}1}+\sqrt{\underset{x\to 2^{-}}{lim}2-\underset{x\to 2^{-}}{lim}x}=\sqrt{2-1}+\sqrt{2-2}=1=f\left(2\right).\end{array}$

Vậy hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[1;2\right]$.

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 82 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của $x$ (kg) bột đã thạch anh được tính theo công thức sau:

$P\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}4,5x& khi0<x\le 400\\ 4x+k& khix>400\end{array}$                ($k$ là một hãng số).

a) Với $k=0$, xét tính liên tục của hàm số $P\left(x\right)$ trên $\left(0;+\infty \right)$.

b) Với giá trị nào của $k$ thì hàm số $P\left(x\right)$ liên tục trên $\left(0;+\infty \right)$?

Phương pháp giải:

a) Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm $x_0\in \left(0;400\right),x_0\in \left(400;+\infty \right)$ và điểm $x_0=400$, từ đó đưa ra kết luận.

b) Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm $x_0\in \left(0;400\right),x_0\in \left(400;+\infty \right)$.

Bước 2: Tính $\underset{x\to 400}{lim}P\left(x\right)$ và $P\left(400\right)$.

Bước 3: Giải phương trình $\underset{x\to 400}{lim}P\left(x\right)=P\left(400\right)$ để tìm $k$.

a) Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm $x_0\in \left(0;400\right),x_0\in \left(400;+\infty \right)$ và điểm $x_0=400$, từ đó đưa ra kết luận.

b) Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm $x_0\in \left(0;400\right),x_0\in \left(400;+\infty \right)$.

Bước 2: Tính $\underset{x\to 400}{lim}P\left(x\right)$ và $P\left(400\right)$.

Bước 3: Giải phương trình $\underset{x\to 400}{lim}P\left(x\right)=P\left(400\right)$ để tìm $k$.

Lời giải chi tiết:

a) Với $k=0$, hàm số có dạng $P\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}4,5x& khi0<x\le 400\\ 4x& khix>400\end{array}$

• Với mọi $x_0\in \left(0;400\right)$, ta có:

$\underset{x\to x_0}{lim}P\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\left(4,5x\right)=4,5\underset{x\to x_0}{lim}x=4,5x_0=P\left(x_0\right)$.

Vậy hàm số $y=P\left(x\right)$ liên tục tại mọi điểm $x_0\in \left(0;400\right)$.

• Với mọi $x_0\in \left(400;+\infty \right)$, ta có:

$\underset{x\to x_0}{lim}P\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\left(4x\right)=4\underset{x\to x_0}{lim}x=4x_0=P\left(x_0\right)$

Vậy hàm số $y=P\left(x\right)$ liên tục tại mọi điểm $x_0\in \left(400;+\infty \right)$.

• $f\left(400\right)=4,5.400=1800$.

$\underset{x\to {400}^{+}}{lim}P\left(x\right)=\underset{x\to {400}^{+}}{lim}\left(4x\right)=4\underset{x\to {400}^{+}}{lim}x=4.400=1600$.

$\underset{x\to {400}^{-}}{lim}P\left(x\right)=\underset{x\to {400}^{-}}{lim}\left(4,5x\right)=4,5.\underset{x\to {400}^{-}}{lim}x=4,5.400=1800$.

Vì $\underset{x\to {400}^{+}}{lim}P\left(x\right)\ne \underset{x\to {400}^{-}}{lim}P\left(x\right)$ nên không tồn tại $\underset{x\to 400}{lim}P\left(x\right)$.

Vậy hàm số không liên tục tại điểm $x_0=400$.

Vậy hàm số $y=f\left(x\right)$ không liên tục trên $\left(0;+\infty \right)$.

b) Xét hàm số $P\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}4,5x& khi0<x\le 400\\ 4x+k& khix>400\end{array}$ ($k$ là một hãng số).

Hàm số liên tục trên các khoảng $\left(0;400\right)$ và $\left(400;+\infty \right)$.

Ta có: $f\left(400\right)=4,5.400=1800$.

$\underset{x\to {400}^{+}}{lim}P\left(x\right)=\underset{x\to {400}^{+}}{lim}\left(4x+k\right)=4\underset{x\to {400}^{+}}{lim}x+\underset{x\to {400}^{+}}{lim}k=4.400+k=1600+k$.

$\underset{x\to {400}^{-}}{lim}P\left(x\right)=\underset{x\to {400}^{-}}{lim}\left(4,5x\right)=4,5.\underset{x\to {400}^{-}}{lim}x=4,5.400=1800$.

Để hàm số $y=P\left(x\right)$ liên tục trên $\left(0;+\infty \right)$ thì hàm số $y=P\left(x\right)$ phải liên tục tại điểm $x_0=400$.

Để hàm số liên tục tại điểm $x_0=400$ thì:

$\underset{x\to {400}^{+}}{lim}P\left(x\right)=\underset{x\to {400}^{-}}{lim}P\left(x\right)=f\left(400\right)\iff 1600+k=1800\iff k=200$.

Vậy với $k=200$ thì hàm số $P\left(x\right)$ liên tục trên $\left(0;+\infty \right)$.