Giải mục 2 trang 83, 84

Hoạt động 3

Các hàm số f(x)=x3−3x+2$f\left(x\right)=x^3-3x+2$ và g(x)=sinx$g\left(x\right)=\sin x$ xác định trên (−∞;+∞)$\left(-\infty ;+\infty \right)$ có đồ thị như sau:

Dựa vào đồ thị, hãy dự đoán tính liên tục của các hàm số y=f(x)$y=f\left(x\right)$ và y=g(x)$y=g\left(x\right)$ trên (−∞;+∞)$\left(-\infty ;+\infty \right)$.

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là đường liền trên khoảng đó

Lời giải chi tiết:

Quan sát đồ thị hàm số y=f(x),y=g(x)$y=f\left(x\right),y=g\left(x\right)$ ta thấy chúng là một đường nét liền trên (−∞;+∞)$\left(-\infty ;+\infty \right)$ nên hai hàm số đó liên tục trên (−∞;+∞)$\left(-\infty ;+\infty \right)$

Luyện tập 3

Xét tính liên tục của hàm số f(x)={x3+x−2x−1khix≠12khix=1$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{x^3+x-2}{x-1}khix\ne 1\\ 2khix=1\end{array}$ trên R$R$

Phương pháp giải:

Hàm số liên tục trên R$R$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc R$R$

Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Xét tính liên tục của hàm số f(x)$f\left(x\right)$ tại điểm x=1$x=1$

Lời giải chi tiết:

Tập xác định của hàm số là R$R$

+ Trên tập (−∞;1)∪(1;+∞)$\left(-\infty ;1\right)\cup \left(1;+\infty \right)$, hàm số f(x)=x3+x−2x−1$f\left(x\right)=\frac{x^3+x-2}{x-1}$ là phân thức hữu tỉ xác định trên các khoảng (−∞;1)$\left(-\infty ;1\right)$ và (1;+∞)$\left(1;+\infty \right)$ nên liên tục trên các khoảng này.

+ Khi x=1$x=1$, ta có f(1)=2$f\left(1\right)=2$.

limx→1f(x)=limx→1x3+x−2x−1=limx→1(x−1)(x2+x+2)x−1=limx→1(x2+x+2)=12+1+2=4≠f(1)$\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^3+x-2}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+2\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}\left(x^2+x+2\right)=1^2+1+2=4\ne f\left(1\right)$

Vậy hàm số f(x)$f\left(x\right)$ không liên tục tại x=1$x=1$

Suy ra hàm số đã cho gián đoạn tại x=1$x=1$ hay hàm số f(x)$f\left(x\right)$ không liên tục trên R$R$

Hoạt động 4

Cho hàm số f(x)=x2$f\left(x\right)=x^2$ và g(x)=1x$g\left(x\right)=\frac{1}{x}$.

a) Xét tính liên tục của y=f(x)$y=f\left(x\right)$ và y=g(x)$y=g\left(x\right)$ tại x0=1$x_0=1$.

b) Xét tính liên tục của hàm số y=f(x)+g(x)$y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ tại x0=1$x_0=1$.

Phương pháp giải:

Hàm số liên tại tại điểm x=x0$x=x_0$ nếu limx→x0f(x)=f(x0)$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$

Tính f(x0)$f\left(x_0\right)$ và limx→x0f(x)$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$ rồi so sánh chúng

Tương tự với hàm y=g(x)$y=g\left(x\right)$ và y=f(x)+g(x)$y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$

Lời giải chi tiết:

a)

+ Hàm số y=f(x)=x2$y=f\left(x\right)=x^2$ có TXĐ là R$R$

Với x0=1⇒f(1)=12=1$x_0=1\Rightarrow f\left(1\right)=1^2=1$

limx→1f(x)=limx→1x2=12=1=f(1)$\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{lim}{x}^2=1^2=1=f\left(1\right)$. Suy ra, hàm số y=f(x)$y=f\left(x\right)$ liên tục tại x0=1$x_0=1$

+ Hàm số y=g(x)=1x$y=g\left(x\right)=\frac{1}{x}$ có tập xác định là R∖{0}$R\setminus \left\{0\right\}$

Với x0=1⇒g(1)=11=1$x_0=1\Rightarrow g\left(1\right)=\frac{1}{1}=1$

limx→1g(x)=limx→11x=11=1=f(1)$\underset{x\to 1}{lim}g\left(x\right)=\underset{x\to 1}{lim}\frac{1}{x}=\frac{1}{1}=1=f\left(1\right)$. Suy ra, hàm số y=f(x)$y=f\left(x\right)$ liên tục tại x0=1$x_0=1$

b) Với x0=1⇒f(1)+g(1)=12+11=2$x_0=1\Rightarrow f\left(1\right)+g\left(1\right)=1^2+\frac{1}{1}=2$

limx→1(f(x)+g(x))=limx→1(x2+1x)=12+11=2=f(1)+g(1)$\underset{x\to 1}{lim}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=\underset{x\to 1}{lim}\left(x^2+\frac{1}{x}\right)=1^2+\frac{1}{1}=2=f\left(1\right)+g\left(1\right)$.

Suy ra, hàm số y=f(x)+g(x) liên tục tại x0=1

Luyện tập 4

Tìm các khoảng trên đó hàm số sau đây là liên tục: y=x+tanx

Phương pháp giải:

Hàm số y=f(x) và y=g(x) là các hàm số liên tục trên khoảng K thì hàm số y=f(x)±g(x) cũng liên tục trên khoảng K

Hàm số y=tanx,y=cotx liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

Tìm tập xác định của hàm số

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số f(x)=x và g(x)=tanx

+ Hàm số f(x)=x là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R

+ Hàm số g(x)=tanx có tập xác định là R∖{π2+kπ,k∈Z} nên hàm số g(x) liên tục trên các khoảng (−π2+k2π;π2+k2π,k∈Z)

Do đó, hàm số y=f(x)+g(x)=x+tanx liên tục trên các khoảng (−π2+k2π;π2+k2π,k∈Z)

Vận dụng

Cho hàm số f(x)={x+1khix≤0ax+bkhi0<x<24−xkhi2≤x, trong đó a và b là hai số thực. Tìm a và b để hàm số y=f(x) liên tục trên R.

Phương pháp giải:

Hàm số liên tục trên R nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc R

Dựa tính liên tục tại các điểm x=0;x=2 để tìm a và b

Lời giải chi tiết:

Tập xác định của hàm số là R

Với x<0, hàm số f(x)=x+1 là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên khoảng (−∞;0)

Với 0<x<2, hàm số f(x)=ax+b là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên khoảng (0;2)

Với x>2, hàm số f(x)=4−x là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên khoảng (2;+∞)

Để hàm số liên tục trên R thì hàm số y=f(x) phải liên tục tại các điểm x=0 và x=2

+ Với x=0⇒f(0)=0+1=1

limx→0−f(x)=limx→0−(x+1)=0+1=1

limx→0+f(x)=limx→0+(ax+b)=a.0+b=b

Để hàm số liên tục tại x=0 thì limx→0+f(x)=limx→0−f(x)=f(0)⇔b=1         (1)

+ Với x=2⇒f(2)=4−2=2

limx→2−f(x)=limx→2−(ax+b)=2a+b

limx→2+f(x)=limx→2+(4−x)=4−2=2

Để hàm số liên tục tại x=2 thì limx→2+f(x)=limx→2−f(x)=f(2)⇔2a+b=2      (2)

Từ (1) và (2), suy ra {b=12a+b=2⇔a=12;b=1