Giải mục 2 trang 84, 85, 86

HĐ 4

Cho tứ giác $ABCD$ có bốn góc bằng nhau và có bốn cạnh bằng nhau. Hãy chứng tỏ $ABCD$ vừa là hình thoi vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật.

Phương pháp giải:

Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi và hình chữ nhật

Lời giải chi tiết:

Xét tứ giác $ABCD$ có bốn góc bằng nhau: $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}$ mà $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}={360}^{\circ }$

Suy ra $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}=\frac{{360}^{\circ }}{4}={90}^{\circ }$

Suy ra $ABCD$ là hình chữ nhật

Xét tứ giác $ABCD$ có bốn cạnh $AB=BC=CD=DA$ nên là hình thoi

Vậy $ABCD$ vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật

HĐ 5

Cho hình vuông $MNPQ$. Chứng minh $MNPQ$ vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa hình vuông, dấu hiệu nhận biết của hình thoi và hình chữ nhật

Lời giải chi tiết:

Vì $MNPQ$ là hình vuông (gt)

Suy ra $MN=NP=PQ=QM$ nên $MNPQ$ là hình thoi

Và $\hat{M}=\hat{N}=\hat{P}=\hat{Q}={90}^{\circ }$ nên $MNPQ$ là hình chữ nhật

Vậy$MNPQ$ vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật

TH 3

Tìm hình vuông trong hai hình sau:

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa hình vuông để tìm hình vuông trong hình vẽ

Lời giải chi tiết:

a) Xét tứ giác $MNPQ$ có hai đường chéo $MP$ và $NQ$ cắt nhau tại trung điểm $O$

Suy ra $MNPQ$ là hình bình hành

Mà hai đường chéo $MP$ và $NQ$ vuông góc

Suy ra $MNPQ$ là hình thoi

Mà $MP=2OM$; $NQ=2ON$ và $OM=ON$ (gt)

Suy ra $MP=NQ$

Suy ra $MNPQ$ là hình vuông

b) Tứ giác $URST$ có:

$UR=RS=ST=TU$ (gt)

Suy ra $URST$ là hình thoi, hình bình hành

Mà $\widehat{URS}={90}^{\circ }$ (gt)

Suy ra $URST$ là hình chữ nhật

Do đó $URST$ có 4 góc vuông

Mà $URST$ có 4 cạnh bằng nhau

Suy ra $URST$ là hình vuông

VD 3

Tìm bốn ví dụ về hình vuông trong thực tế

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa hình vuông

Lời giải chi tiết:

Mặt bàn hình vuông

Ô cửa sổ hình vuông

Hộp phấn

Viên gạch

HĐ 6

Cho hình chữ nhật $ABCD$. Giải thích tại sao $ABCD$ là hình vuông trong mỗi trường hợp sau:

Trường hợp 1: $AB=BC$

Trường hợp 2: $AC$ vuông góc với $BD$

Trường hợp 3: $AC$ là đường phân giác của góc $BAD$

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của hình chữ nhật, định nghĩa hình vuông

Lời giải chi tiết:

$ABCD$ là hình chữ nhật (gt)

Suy ra $AB=CD$; $AD=BC$; $AB$ // $CD$; $AD$ // $BC$ (3)

$\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}={90}^{\circ }$ (1)

TH1:

Nếu $AB=BC$ (gt) thì  $AB=BC=CD=DA$ (2)

Từ (1), (2) suy ra $ABCD$ là hình vuông

TH2:

Nếu $AC$ vuông góc với $BD$

Mà $ABCD$ cũng là hình bình hành

Suy ra $ABCD$ là hình thoi

Suy ra $AB=BC=CD=DA$ (4)

Từ (1) và (4) suy ra $ABCD$ là hình vuông

TH3:

$AC$ là phân giác của góc $BAD$

Mà $ABCD$ là hình bình hành

Suy ra $ABCD$ là hình thoi

Suy ra $AB=BC=CD=DA$ (5)

Từ (1) và (5) suy ra $ABCD$ là hình vuông

HĐ 7

Cho hình thoi $ABCD$. Hãy chứng tỏ:

a) Nếu $\widehat{BAD}$ là góc vuông thì ba góc còn lại của hình thoi cũng là góc vuông.

b) Nếu $AC=BD$ thì $\widehat{BAD}$ là góc vuông

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của hình thoi, hình bình hành

Lời giải chi tiết:

a)

$ABCD$ là hình thoi nên cũng là hình bình hành.

Suy ra:

$AB=BC=CD=DA$;

$\hat{A}=\hat{C};\hat{B}=\hat{D}$

 $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}={360}^{\circ }$

Suy ra: $\hat{A}+\hat{B}=\hat{C}+\hat{D}={180}^{\circ }$

Mà $\widehat{BAD}$ là góc vuông

Suy ra $\widehat{BCD}={90}^{\circ }$; $\hat{B}={90}^{\circ };\hat{D}={90}^{\circ }$

b) Nếu $AC=BD$ thì $ABCD$ là hình chữ nhật

Khi đó $\widehat{BAD}$ là góc vuông

TH 4

Trong Hình 12, cho biết $ABCD$ là một hình vuông. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác $EFGH$ có ba góc vuông

b) $HE=HG$

c) Tứ giác $EFGH$ là một hình vuông

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của hình vuông, hai tam giác bằng nhau

Lời giải chi tiết:

a) Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB=BC=CD=DA$; $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}={90}^{\circ }$

Mà $AE=BF=CG=HD$ (gt) suy ra $BE=CF=DG=AH$

Xét $\Delta AEH$ và $\Delta DHG$ ta có:

$\hat{A}=\hat{D}=90$

$AE=GH$ (gt)

$AH=DG$ (gt)

Suy ra $\Delta AEH=\Delta DHG$ (c-g-c)

Suy ra $\widehat{AEH}=\widehat{DHG}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AEH}+\widehat{AHE}={90}^{\circ }$

Suy ra $\widehat{DHG}+\widehat{AHE}={90}^{\circ }$

Suy ra $\widehat{EHG}={90}^{\circ }$

Chứng minh tương tự ta được $\widehat{HGF}={90}^{\circ };\widehat{GFE}={90}^{\circ }$

Vậy tứ giác $EFGH$ có ba góc vuông.

b) Vì $\Delta AEH=\Delta DHG$ (cmt)

Suy ra $HE=HG$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $EFGH$ là hình vuông

c) chứng minh tương tự câu b ta có: $HE=EF$; $HE=FG$

Khi đó $EFGH$ có $HE=HG=EF=FG$ nên là hình thoi (3)

Tứ giác $EFGH$ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật (4)

Từ (3) và (4) suy ra $EFGH$ là hình vuông

VD 4

Bạn Nam kiểm tra mặt kính của chiếc đồng hồ để bàn và nhận thấy có ba góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau (Hình 13). Hãy cho biết mặt kính đồng hồ có hình gì?

Phương pháp giải:

Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình vuông

Lời giải chi tiết:

Mặt kính đồng hồ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật

Mà mặt kính có hai cạnh kề bằng nhau

Suy ra mặt kính đồng hồ là hình vuông