Giải mục 2 trang 84, 85 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 2

Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ cắt nhau theo giao tuyến $d$ . Hãy gọi tên các nửa mặt phẳng có chung bờ $d$ . Các nửa mặt phẳng này chia không gian thành bao nhiêu phần?

Phương pháp giải:

Quan sát hình ảnh và trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

Các nửa mặt phẳng có chung bờ $d$ là: $(P_{1}), (P_{2}), (Q_{1}), (Q_{2})$ .

Các nửa mặt phẳng này chia không gian thành 4 phần.

Hoạt động 3

Cho góc nhị diện $[P_{1}, d, Q_{1}]$ . Gọi $O$ là một điểm tuỳ ý trên $d$ . $O x$ là tia nằm trong $(P)$ và vuông góc với $d$ , $O y$ là tia nằm trong $(Q)$ và vuông góc với $d$ (Hình 6).

a) Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa $d$ và $m p (O x, O y)$ .

b) Nêu nhận xét về số đo của góc $x O y$ khi $O$ thay đổi trên $d$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí: Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$ cùng nằm trong mặt phẳng $(α)$ thì $d ⊥ (α)$ .

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\begin{array}{l} d ⊥ O x \\ d ⊥ O y \end{array}} \Rightarrow d ⊥ m p (O x, O y)$

b) Số đo của góc $x O y$ không đổi khi $O$ thay đổi trên $d$ .

Thực hành 2

Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ với $O$ là tâm của đáy và có tất cả các cạnh đều bằng $a$ . Xác định và tính góc phẳng nhị diện:

a) $[S, B C, O]$ ;

b) $[C, S O, B]$ .

Phương pháp giải:

‒ Cách xác định góc phẳng nhị diện $[A, d, B]$ : Dựng mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $d$ , gọi $a, a^{'}$ lần lượt là giao tuyến của $(P)$ với hai nửa mặt phẳng chứa $A, B$ , khi đó $[A, d, B] = (a, a^{'})$ .

Lời giải chi tiết:

a) Gọi $H$ là trung điểm của $B C$ .

$Δ S B C$ đều $\Rightarrow S H ⊥ B C$

$Δ O B C$ vuông cân tại $O \Rightarrow O H ⊥ B C$

Vậy $\hat{S H O}$ là góc phẳng nhị diện $[S, B C, O]$ .

Ta có: $O$ là trung điểm của $B D$

$H$ là trung điểm của $B C$

$\Rightarrow O H$ là đường trung bình của $Δ B C D$

$\Rightarrow O H = \frac{1}{2} C D = \frac{a}{2}$

$A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = a \sqrt{2} \Rightarrow O C = \frac{A C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$Δ S O H$ vuông tại $O$ có: $S O = \sqrt{S C^{2} - O C^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$\tan \hat{S H O} = \frac{S O}{O H} = \sqrt{2} \Rightarrow \hat{S H O} \approx 54, 7^{\circ}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l} S O ⊥ (A B C D) \Rightarrow S O ⊥ O B \\ S O ⊥ (A B C D) \Rightarrow S O ⊥ O C \end{array}$

Vậy $\hat{B O C}$ là góc phẳng nhị diện $[C, S O, B]$ .

$A B C D$ là hình vuông $\Rightarrow \hat{B O C} = 90^{\circ}$ .

Vận dụng 2

Cho biết kim tự tháp Memphis tại bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao 98 m và cạnh đáy 180 m. Tính số đo góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.

(Nguồn: https://en.wikipedia.org/wiki/Memphis Pyramid)

Phương pháp giải:

Cách xác định góc nhị diện $[P_{1}, d, Q_{1}]$

Bước 1: Xác định $c = (P_{1}) \cap (Q_{1})$ .

Bước 2: Tìm mặt phẳng $(R) \supset c$ .

Bước 3: Tìm $p = (R) \cap (P_{1}), q = (R) \cap (Q_{1}), O = p \cap q, M \in p, N \in q$ .

Khi đó $[P_{1}, d, Q_{1}] = \hat{M O N}$ .

Lời giải chi tiết:

Mô hình hoá kim tự tháp bằng chóp tứ giác đều $S . A B C D$ với $O$ là tâm của đáy. Vậy $A B = 180, S O = 98$

Gọi $H$ là trung điểm của $B C$ .

$Δ S B C$ đều $\Rightarrow S H ⊥ B C$

$Δ O B C$ vuông cân tại $O \Rightarrow O H ⊥ B C$

Vậy $\hat{S H O}$ là góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.

Ta có: $O$ là trung điểm của $B D$

$H$ là trung điểm của $B C$

$\Rightarrow O H$ là đường trung bình của $Δ B C D$

$\Rightarrow O H = \frac{1}{2} C D = 90$

$\tan \hat{S H O} = \frac{S O}{O H} = \frac{49}{45} \Rightarrow \hat{S H O} \approx 47, 4^{\circ}$

Vậy số đo góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy là $47, 4^{\circ}$ .