Giải mục 2 trang 84

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 84 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Sử dụng phương pháp hình thang, tính gần đúng $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{e^x}{x}dx$ với độ chính xác 0,01.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương pháp hình thang để tính:

Giả sử hàm số f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\approx \frac{b-a}{2n}\left[f\left(x_0\right)+2f\left(x_1\right)+2f\left(x_2\right)+...+2f\left(x_{n-1}\right)+f\left(x_n\right)\right]$, ở đó đoạn [a; b] được chia thành n đoạn con $\left[x_0;x_1\right],\left[x_1;x_2\right],...,\left[x_{n-1},x_n\right]$, mỗi đoạn có độ dài là $\Delta x=\frac{b-a}{n}$.

Thuật toán: Để tính xấp xỉ $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ với độ chính xác không vượt quá số $\epsilon$ cho trước, ta thực hiện lần lượt các bước sau:

Bước 1: Tính f’’(x) và tìm $M=\underset{x\in \left[a;b\right]}{max}\left|f^{\prime \prime }\left(x\right)\right|$ (hoặc đánh giá $\underset{x\in \left[a;b\right]}{max}\left|f^{\prime \prime }\left(x\right)\right|\le M$ nếu việc tìm chính xác là khó).

Bước 2. Với sai số $\epsilon$ cho trước, tìm số tự nhiên n (nhỏ nhất) sao cho $\left|E\right|\le \frac{{\left(b-a\right)}^{3}M}{12n^2}<\epsilon$

Bước 3. Chia đoạn [a; b] thành n đoạn con có độ dài bằng nhau và áp dụng công thức hình thang.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{e^x}{x}\right)}^{\prime }=\frac{e^x.x-e^x}{x^2},$ $f^{\prime \prime }\left(x\right)=\left(\frac{e^x.x-e^x}{x^2}\right)=\frac{e^x.x^3-2x^2.e^x+2x.e^x}{x^4}=\frac{e^x\left(x^2-2x+2\right)}{x^3}$

$f^{\prime \prime \prime }\left(x\right)=\frac{-6.e^x+6x.e^x-3x^2{e}^x+x^3{e}^x}{x^4}=\frac{e^x\left(x^3-3x^2+6x-6\right)}{x^4}$

$f^{\prime \prime \prime }\left(x\right)=0$ thì $x\approx 1,596$

Ta có: $f^{\prime \prime }\left(1\right)=e,f^{\prime \prime }\left(1,569\right)=\frac{1,355216e^{1,569}}{1,{569}^3},f^{\prime \prime }\left(2\right)=\frac{e^2}{4}$

Do đó, $M=\underset{x\in \left[1;2\right]}{max}\left|f^{\prime \prime }\left(x\right)\right|=\left|f^{\prime }\left(2\right)\right|=\frac{e^2}{4}$

Ta cần tìm n sao cho: $\frac{{\left(2-1\right)}^3.\frac{e^2}{4}}{12n^2}<0,01\iff \frac{e^2}{48n^2}<0,01\iff n>\frac{5e}{2\sqrt{3}}$

Do đó, ta chọn $n=5$

Chia đoạn [1; 2] thành 5 đoạn bằng nhau là [1; 1,2], [1,2; 1,4], [1,4; 1,6], [1,6; 1,8], [1,8; 2].

Áp dụng công thức hình thang ta có:

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{e^x}{x}dx\approx \frac{2-1}{10}\left(\frac{e^1}{1}+\frac{2e^{1,2}}{1,2}+\frac{2e^{1,4}}{1,4}+\frac{2e^{1,6}}{1,6}+\frac{2e^{1,8}}{1,8}+\frac{e^2}{2}\right)\approx 3,065$

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 84 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Một thân cây dài 4,8 m được cắt thành các khúc gỗ dài 60 cm. Người ta đo đường kính của mỗi mặt cắt ngang và diện tích S của nó được ghi lại trong bảng dưới đây, ở đây x (cm) là khoảng cách tính từ đỉnh cây đến vết cắt.

Tính thể tích gần đúng của thân cây này.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương pháp hình thang để tính:

Giả sử hàm số f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\approx \frac{b-a}{2n}\left[f\left(x_0\right)+2f\left(x_1\right)+2f\left(x_2\right)+...+2f\left(x_{n-1}\right)+f\left(x_n\right)\right]$, ở đó đoạn [a; b] được chia thành n đoạn con $\left[x_0;x_1\right],\left[x_1;x_2\right],...,\left[x_{n-1},x_n\right]$, mỗi đoạn có độ dài là $\Delta x=\frac{b-a}{n}$.

Lời giải chi tiết:

Thế tích gần đúng của thân cây này là: $V=\underset{0}{\overset{480}{\int }}S\left(x\right)dx$.

Theo công thức hình thang ta có:

$\underset{0}{\overset{480}{\int }}S\left(x\right)dx\approx \frac{480}{2.9}\left[240+2.248+2.256+2.260+2.264+2.272+2.298+2.316+320\right]\approx \frac{351040}{3}$

Vậy thể tích thân cây khoảng $\frac{351040}{3}c{m}^3$.