Giải mục 2 trang 89, 90, 91, 92, 93 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 89 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trở lại với bảng 3.1 về khối lượng của 100 quả dứa giống E. Để tiện tính toán, ta biểu diễn dữ liệu bằng một bảng hai cột như bảng trên.

a) Hãy tính các tứ phân vị của mẫu số liệu cho trong bảng.

b) Đề xuất một cách ước tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức tính tứ phân vị:

$Q_{x} = L + (\frac{n_{x} - F}{f}) \times h$

Trong đó:

- $Q_{x}$ là giá trị tứ phân vị cần tìm $(Q_{1}, Q_{2}$ , hoặc $Q_{3})$ .

- $L$ là cận dưới của khoảng chứa tứ phân vị.

- $n_{x}$ là vị trí của tứ phân vị trong tổng số mẫu (ví dụ, $n_{Q_{1}} = \frac{N}{4}$ cho $Q 1, n_{Q_{2}} = \frac{N}{2}$ cho Q2).

- $F$ là tần suất tích lũy của khoảng liền trước khoảng chứa tứ phân vị.

- $f$ là tần suất của khoảng chứa tứ phân vị.

- $h$ là độ dài của khoảng giá trị (ví dụ: từ 900 đến 1000 thì $h = 100$ ).

b) Khoảng tứ phân vị là khoảng giữa $Q_{3}$ và $Q_{1}$ , ký hiệu là: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Tính tần số tích luỹ

Kích thước của mẫu số liệu là $N = 100$ . Ta có $\frac{N}{4} = 25; \frac{2 N}{4} = 50; \frac{3 N}{4} = 75$

Nhóm chứa $Q_{1}$ là [900; 1000)

$Q_{1} = 900 + \frac{25 - 16}{14} \times 100 \approx 964, 29 g a m$

Nhóm chứa $Q_{2}$ là [1000; 1100)

$Q_{2} = 1000 + \frac{50 - 30}{23} \times 100 \approx 1086, 96 g a m$

Nhóm chứa $Q_{3}$ là [1200; 1300)

$Q_{3} = 1200 + \frac{75 - 68}{22} \times 100 \approx 1231, 82 g a m$

b) Khoảng tứ phân vị là: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 1231, 82 - 964, 29 = 267, 53$

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 92 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Ở một phòng điều trị nội trú của bệnh viện, dữ liệu thống kê thời gian ngủ hằng đêm của hai bệnh nhân trong suốt một tháng được tổng hợp bởi hai bảng dưới đây:

Bệnh nhân nào có thời gian ngủ ổn định hơn?

Phương pháp giải:

Tính tần suất tích lũy cho cả hai bệnh nhân.

Xác định $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , và $Q_{3}$ cho mỗi bệnh nhân.

Tính khoảng tứ phân vị $Δ_{Q}$ cho mỗi bệnh nhân.

So sánh khoảng tứ phân vị $Δ_{Q}$ của hai bệnh nhân. Bệnh nhân có $Δ_{Q}$ nhỏ hơn sẽ có thời gian ngủ ổn định hơn.

Lời giải chi tiết:

- Bệnh nhân A:

Tính tần suất tích luỹ:

Tính tứ phân vị:

$Q_{1} = 240 + \frac{7.5 - 5}{5} \times 60 = 240 + 30 = 270$ phút

$Q_{2} = 300 + \frac{15 - 10}{10} \times 60 = 300 + 30 = 330$ phút

$Q_{3} = 360 + \frac{22.5 - 20}{6} \times 60 = 360 + 25 = 385$ phút

Khoảng tứ phân vị là:

$Δ_{Q}^{A} = Q_{3} - Q_{1} = 385 - 270 = 115$ phút

- Bệnh nhân B:

Tính tần suất tích luỹ:

Tính tứ phân vị:

$Q_{1} = 240 + \frac{7.5 - 2}{9} \times 60 = 240 + 36, 67 = 276, 67$ phút

$Q_{2} = 300 + \frac{15 - 11}{12} .60 = 320$ phút

$Q_{3} = 300 + \frac{22.5 - 11}{12} \times 60 = 300 + 57, 5 = 357, 5$ phút

Khoảng tứ phân vị là:

$Δ_{Q}^{B} = Q_{3} - Q_{1} = 357.5 - 276.67 = 80.83$ phút

Vì $Δ_{Q}^{B} < Δ_{Q}^{A}$ nên bệnh nhân B có thời gian ngủ ổn định hơn.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 93 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Hình 3.3 là biểu đồ biểu diễn nhiệt độ trung bình hằng tháng của hai địa phương Y, Z.

a) Lập bảng số liệu ghép nhóm về nhiệm độ của hai địa phương Y, Z, với độ dài các nhóm là 5 và đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 40.

b) Tìm khoảng tứ phân vị của nhiệt độ mỗi địa phương và cho biết nhiệt độ của địa phương nào ít biến động hơn.

Phương pháp giải:

a)

- Tạo bảng với các hàng tương ứng với các khoảng nhiệt độ (5-10, 10-15, ..., 35-40) và hai cột tương ứng với địa phương Y và Z.

- Đếm số lượng tháng mà nhiệt độ trung bình rơi vào mỗi khoảng nhiệt độ cho từng địa phương.

b)

- Xác định khoảng tứ phân vị.

- Địa phương nào có khoảng tứ phân vị nhỏ hơn thì nhiệt độ của địa phương đó biến động ít hơn.

Lời giải chi tiết:

Đọc số liệu từ biểu đồ:

Lập bảng số liệu ghép nhóm:

b) Tính khoảng tứ phân vị và so sánh

$Q_{1}^{Y} = 15 + \frac{3 - 2}{2} .5 = 17, 5; Q_{3}^{Y} = 30 + \frac{9 - 7}{3} .5 = 33, 3$

$Q_{1}^{Z} = 25 + \frac{3 - 2}{4} .5 = 26, 25; Q_{3}^{Z} = 30 + \frac{9 - 6}{4} .5 = 33, 75$

$\begin{array}{l} Δ_{Q}^{Y} = Q_{3}^{Y} - Q_{1}^{Y} = 33, 3 - 17, 5 = 15, 8 \\ Δ_{Q}^{Z} = Q_{3}^{Z} - Q_{1}^{Z} = 33, 75 - 26, 25 = 7, 5 \end{array}$

Vì $Δ_{Q}^{Y} > Δ_{Q}^{Z}$ nên nhiệt độ của địa phương Z ít biến động hơn.