Giải mục 2 trang 89, 90

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số (y = {x^3} + {x^2}) tại điểm x bất kì.

HĐ 3

Video hướng dẫn giải

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y = x^{3} + x^{2}$ tại điểm x bất kì.

b) So sánh: ${(x^{3} + x^{2})}^{'}$ và ${(x^{3})}^{'} + {(x^{2})}^{'} .$

Phương pháp giải:

+) $f^{'} (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ .

+) ${(x^{n})}^{,} = n x^{n - 1}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Với $x_{0}$ bất kì, ta có:

$f^{'} (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$

$= lim_{x \to x_{0}} \frac{x^{3} + x^{2} - x_{0}^{3} - x_{0}^{2}}{x - x_{0}}$

$= lim_{x \to x_{0}} \frac{(x^{3} - x_{0}^{3}) + (x^{2} - x_{0}^{2})}{x - x_{0}}$

$= lim_{x \to x_{0}} \frac{(x - x_{0}) (x^{2} + x x_{0} + x_{0}^{2}) + (x - x_{0}) (x + x_{0})}{x - x_{0}}$

$= lim_{x \to x_{0}} \frac{(x - x_{0}) (x^{2} + x x_{0} + x_{0}^{2} + x + x_{0})}{x - x_{0}}$

$= lim_{x \to x_{0}} (x^{2} + x x_{0} + x_{0}^{2} + x + x_{0})$

$= 3 x_{0}^{2} + 2 x_{0}$ .

Vậy hàm số $y = x^{3} + x^{2}$ có đạo hàm là hàm số $y^{'} = 3 x^{2} + 2 x$ .

b) ${(x^{3})}^{'} + {(x^{2})}^{'} = 3 x^{2} + 2 x$

Do đó ${(x^{3} + x^{2})}^{'}$ = ${(x^{3})}^{'} + {(x^{2})}^{'}$ .

LT 1

Video hướng dẫn giải

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$ ;

b) $y = (\sqrt{x} + 1) (x^{2} + 2)$ .

Phương pháp giải:

- Sử dụng quy tắc ${(u \pm v)}^{'} = u^{'} \pm v^{'}$ ; ${(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ ; ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ .

- Sử dụng công thức ${(x^{n})}^{'} = n x^{n - 1}$ ; ${(\sqrt{x})}^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

Lời giải chi tiết:

a) $y^{'} = \frac{{(\sqrt{x})}^{'} (x + 1) - \sqrt{x} {(x + 1)}^{'}}{{(x + 1)}^{2}}$

$= \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} (x + 1) - \sqrt{x} .1}{{(x + 1)}^{2}}$

$= \frac{\frac{x + 1}{2 \sqrt{x}} - \sqrt{x}}{{(x + 1)}^{2}}$

$= \frac{\frac{x + 1 - 2 x}{2 \sqrt{x}}}{{(x + 1)}^{2}}$

$= \frac{x + 1 - 2 x}{2 \sqrt{x} {(x + 1)}^{2}}$

$= \frac{- x + 1}{2 \sqrt{x} {(x + 1)}^{2}}$ .

b) $y^{'} = {(\sqrt{x} + 1)}^{'} (x^{2} + 2) + (\sqrt{x} + 1) {(x^{2} + 2)}^{'}$

$= \frac{1}{2 \sqrt{x}} (x^{2} + 2) + (\sqrt{x} + 1) .2 x$ .