Giải mục 2 trang 9, 10, 11, 12, 13, 14

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 10 SGK Toán 11 Cánh diều

a) Trong mặt phẳng tọa độ (định hướng) Oxy, hãy vẽ đường tròn tâm O và bán kính bằng 1.

b) Hãy nêu chiều dương, chiều âm trên đường tròn tâm O với bán kính bằng 1.

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thực đã học về trục tọa độ và kiến thức học ở phần trên để xác vẽ hình.

Lời giải chi tiết:

a)

b) Chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ. Chiều âm là chiều kim đồng hồ.

LT-VD6

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 6 trang 10 SGK Toán 11 Cánh diều

Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho $\left(OA,ON\right)=-\frac{\pi }{3}$.

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thực đã học về trục tọa độ và kiến thức học ở phần trên để xác vẽ.

Lời giải chi tiết:

HĐ7

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 10 SGK Toán 11 Cánh diều

a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $\left(OA,OM\right)={60}^{\circ }$.

b) So sánh hoành độ của điểm M với $\cos {60}^{\circ }$; tung độ của điểm M với $\sin {60}^{\circ }$.

Phương pháp giải:

Dựa vào cách xác định góc bên trên để xác định.

Lời giải chi tiết:

a)

b) $\cos {60}^{\circ }$ bằng hoành độ của điểm M, $\sin {60}^{\circ }$ bằng tung độ của điểm M.

LT-VD7

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 7 trang 11 SGK Toán 11 Cánh diều

Tìm giác trị lượng giác của góc lượng giác $\beta =-\frac{\pi }{4}$.

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức đã học để tính.

Lời giải chi tiết:

$\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2};\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2};\tan \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{2};\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-2$

HĐ8

Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 11 SGK Toán 11 Cánh diều

Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha =-{30}^{\circ }$.

Phương pháp giải:

Dựa vào sin, cos, tan, cot đã học ở lớp dưới để xác định.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{c}\cos \left(-{30}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}>0\\ \sin \left(-{30}^{\circ }\right)=-\frac{1}{2}<0\\ \tan \left(-{30}^{\circ }\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}<0\\ \cot \left(-{30}^{\circ }\right)=-\sqrt{3}<0\end{array}$

LT-VD8

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 8 trang 11 SGK Toán 11 Cánh diều

Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha =\frac{5\pi }{6}$.

Phương pháp giải:

Dựa vào bảng xét dấu sau:

Lời giải chi tiết:

Do $\frac{\pi }{2}<\frac{5\pi }{6}<\pi$ nên:

$\begin{array}{c}\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)<0\\ \sin \left(\frac{5\pi }{6}\right)>0\\ \tan \left(\frac{5\pi }{6}\right)<0\\ \cot \left(\frac{5\pi }{6}\right)<0\end{array}$

HĐ9

Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 11 SGK Toán 11 Cánh diều

Cho góc lượng giác $\alpha$. So sánh:

a) ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha$ và 1;

b) $\tan \alpha .\cot \alpha$ và 1 với $\cos \alpha \ne 0,\sin \alpha \ne 0$;

c) $1+{\tan }^2\alpha$ và $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ với $\cos \alpha \ne 0$;

d) $1+{\cot }^2\alpha$ và $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ với $\sin \alpha \ne 0$.

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức của phần phía trên và kiến thức lớp 9 để so sánh.

Lời giải chi tiết:

a) ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$.

b) $\tan \alpha .\cot \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }.\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=1$.

c) $\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }={\tan }^2\alpha +1$.

d) $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=1+{\cot }^2\alpha$.

LT-VD9

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 9 trang 12 SGK Toán 11 Cánh diều

Cho góc lượng giác $\alpha$ sao cho $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ và $\sin \alpha =-\frac{4}{5}$. Tìm $\cos \alpha$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$.

Lời giải chi tiết:

Vì ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$ nên ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(-\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}$.

Do $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\cos \alpha <0$. Suy ra $\cos \alpha =-\frac{3}{5}$.

HĐ10

Trả lời câu hỏi Hoạt động 10 trang 12 SGK Toán 11 Cánh diều

Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha =\frac{\pi }{4}$.

Phương pháp giải:

Dựa vào các kiến thức đã học để tính.

Lời giải chi tiết:

$\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2};\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2};\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)=1;\cot \left(\frac{\pi }{4}\right)=1$.

LT-VD10

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 10 trang 12 SGK Toán 11 Cánh diều

Tính giá trị của biểu thức:

$Q={\tan }^2\frac{\pi }{3}+{\sin }^2\frac{\pi }{4}+\cot \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{2}$.

Phương pháp giải:

Sử dựng bảng lượng giác của các góc đặc biệt:

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{c}Q={\tan }^2\frac{\pi }{3}+{\sin }^2\frac{\pi }{4}+\cot \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{2}\\ ={\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+1+0=\frac{7}{2}.\end{array}$

HĐ11

Trả lời câu hỏi Hoạt động 11 trang 13 SGK Toán 11 Cánh diều

Trên đường tròn lượng giác, cho hai điểm M, M’ sao cho góc lượng giác $\left(OA,OM\right)=\alpha$, $\left(OA,O{M}^{\prime }\right)=-\alpha$ (Hình 13).

a) Nêu nhận xét về: hoành độ của chúng, tung độ của hai điểm M, M'.

b) Nêu mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác $\alpha$ và $-\alpha$.

Phương pháp giải:

Dựa vào hình vẽ (Hình 13).

Lời giải chi tiết:

a) Hoành độ của điểm M và M’ bằng nhau.

Tung độ của điểm M và M’ đối nhau.

b) Mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác $\alpha$ và $-\alpha$.

LT-VD11

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 11 trang 14 SGK Toán 11 Cánh diều

Tính:

a) ${\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\cos }^2\frac{3\pi }{8}$.

b) $\tan 1^{\circ }.\tan 2^{\circ }.\tan {45}^{\circ }.\tan {88}^{\circ }.\tan {89}^{\circ }$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trong bảng:

Lời giải chi tiết:

a) ${\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\cos }^2\frac{3\pi }{8}={\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{8}\right)$

$={\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\sin }^2\frac{\pi }{8}=1$.

b)

$\begin{array}{c}\tan 1^{\circ }.\tan 2^{\circ }.\tan {45}^{\circ }.\tan {88}^{\circ }.\tan {89}^{\circ }\\ =(\tan 1^{\circ }.\tan {89}^{\circ }).(\tan 2^{\circ }.\tan {88}^{\circ }).\tan {45}^{\circ }\\ =(\tan 1^{\circ }.\cot 1^{\circ }).(\tan 2^{\circ }.\cot 2^{\circ }).\tan {45}^{\circ }\\ =1.\end{array}$

LT-VD12

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 12 trang 12 SGK Toán 11 Cánh diều

Dùng máy tính cầm tay để tính:

a) $\tan (-{75}^{\circ })$;

b) $\cot \left(-\frac{\pi }{5}\right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính cầm tay.

Lời giải chi tiết:

a) $\tan (-{75}^{\circ })=-2-\sqrt{3}$.

b) $\cot \left(-\frac{\pi }{5}\right)\approx -1,376$.