Giải mục 2 trang 9, 10, 11 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Hoạt động 3

Cho ba số dương a, b₁, b₂ và $a \neq 1$ . Đặt $x = \log_{a} b_{1}; y = \log_{a} b_{2} .$

a) Tính b₁, b₂theo a, x, y.

b) Tính $\log_{a} (b_{1} b_{2}), \log_{a} (\frac{b_{1}}{b_{2}})$ theo x, y.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng: $α = \log_{a} b \Leftrightarrow a^{α} = b$

b) Thay b₁, b₂ đã tính ở phần a vào $\log_{a} (b_{1} b_{2}), \log_{a} (\frac{b_{1}}{b_{2}})$ . Áp dụng: $a^{n} . a^{m} = a^{n + m}; a^{n} : a^{m} = a^{n - m}$ và $\log_{a} (a^{x}) = x$ .

Lời giải chi tiết:

a)

$\begin{array}{l} x = \log_{a} b_{1} \Rightarrow a^{x} = b_{1} \\ y = \log_{a} b_{2} \Rightarrow a^{y} = b_{2} \end{array}$

b) $\log_{a} (b_{1} b_{2}) = \log_{a} (a^{x} . a^{y}) = \log_{a} (a^{x + y}) = x + y$

$\log_{a} (\frac{b_{1}}{b_{2}}) = \log_{a} (\frac{a^{x}}{a^{y}}) = \log_{a} (a^{x - y}) = x - y$

Luyện tập 2

Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau:

a) $M = \log_{\frac{1}{2}} 2 + \log_{\frac{1}{2}} \frac{2}{3} + \log_{\frac{1}{2}} \frac{3}{8};$

b) $N = \log_{5} 15 - \log_{5} \sqrt{3} - \log_{5} \sqrt{75} .$

Phương pháp giải:

Áp dụng: $\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (b c); \log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a} (\frac{b}{c})$

Lời giải chi tiết:

a)

$\begin{array}{l} M = \log_{\frac{1}{2}} 2 + \log_{\frac{1}{2}} \frac{2}{3} + \log_{\frac{1}{2}} \frac{3}{8} \\ = \log_{\frac{1}{2}} (2. \frac{2}{3} . \frac{3}{8}) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1 \end{array}$

b)

$\begin{array}{l} N = \log_{5} 15 - \log_{5} \sqrt{3} - \log_{5} \sqrt{75} \\ = \log_{5} (15 : \sqrt{3} : \sqrt{75}) \\ = \log_{5} 1 = 0 \end{array}$

Hoạt động 4

Cho hai số dương a, b và $a \neq 1$ . Đặt $x = \log_{a} b$ . Tính $\log_{a} (b^{α})$ theo $x (α \in R)$ .

Phương pháp giải:

Từ $x = \log_{a} b$ , biểu diễn b theo a, x. Thay b vừa tìm được vào $\log_{a} (b^{α})$ để tính.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l} x = \log_{a} b \Rightarrow a^{x} = b \\ \Rightarrow \log_{a} (b^{α}) = \log_{a} ({(a^{x})}^{α}) = \log_{a} (a^{α x}) = α x \end{array}$

Luyện tập 3

Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức:

$A = \log_{5} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \log_{5} 12 + 3 \log_{5} \sqrt[3]{50} .$

Phương pháp giải:

Áp dụng: $α \log_{a} b = \log_{a} b^{α}$ và $\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (b c); \log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a} (\frac{b}{c})$ .

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} A = \log_{5} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \log_{5} 12 + 3 \log_{5} \sqrt[3]{50} \\ = \log_{5} \sqrt{3} - \log_{5} (12^{\frac{1}{2}}) + \log_{5} ({(\sqrt[3]{50})}^{3}) \\ = \log_{5} \sqrt{3} - \log_{5} (\sqrt{12}) + \log_{5} 50 \\ = \log_{5} (\sqrt{3} : \sqrt{12} .50) = \log_{5} 25 = 2 \end{array}$

Hoạt động 5

Cho ba số dương a, b, c, $a \neq 1$ , $c \neq 1$ . Đặt $x = \log_{c} a; y = \log_{a} b$ .

a) Tính a, b và $\log_{c} b$ theo c, x, y.

b) Suy ra hệ thức liên hệ giữa $\log_{a} b, \log_{c} a, \log_{c} b$ .

Phương pháp giải:

a) Áp dụng: $\log_{a} b = α \Leftrightarrow a^{α} = b$ và $\log_{a} (a^{b}) = b$ .

b) Dựa vào biểu thức tính $\log_{c} b$ theo x, y ở phần a. Thay $x = \log_{c} a; y = \log_{a} b$ vào biểu thức.

Lời giải chi tiết:

a) $x = \log_{c} a \Rightarrow c^{x} = a$

$y = \log_{a} b \Leftrightarrow a^{y} = b \Leftrightarrow {(c^{x})}^{y} = b \Leftrightarrow c^{x y} = b$

$\log_{c} b = \log_{c} (c^{x y}) = x y$

b) Ta có:

$\begin{array}{l} \log_{c} b = x y \\ \Leftrightarrow \log_{c} b = \log_{a} b . \log_{c} a \end{array}$

Luyện tập 4

a) Tính giá trị biểu thức $A = \log_{2} 3. \log_{5} 4. \log_{\sqrt{3}} 5$ .

b) Cho $a = \log_{2} 5; b = \log_{2} 3$ . Tính $\log_{3} 60$ theo a và b.

Phương pháp giải:

Áp dụng:

a) $\log_{c} a . \log_{a} b = \log_{c} b$ ; $\log_{a} b^{α} = α \log_{a} b$

b) $\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$ ; $\log_{a} (b c) = \log_{a} b + \log_{a} c$ ; $\log_{a} b^{α} = α \log_{a} b$

Lời giải chi tiết:

a)

$\begin{array}{l} A = \log_{2} 3. \log_{5} 4. \log_{\sqrt{3}} 5 \\ = \log_{2} 3. (\log_{\sqrt{3}} 5. \log_{5} 4) \\ = \log_{2} 3. \log_{\sqrt{3}} 4 \\ = \log_{2} {(\sqrt{3})}^{2} . \log_{\sqrt{3}} 4 \\ = 2 \log_{2} \sqrt{3} . \log_{\sqrt{3}} 4 \\ = 2 \log_{2} 4 = 2.2 = 4 \end{array}$

b) Ta có: $\log_{2} 60 = \log_{2} (2^{2} .3 .5) = 2 \log_{2} 2 + \log_{2} 3 + \log_{2} 5 = 2 + a + b$

$\Rightarrow \log_{3} 60 = \frac{\log_{2} 60}{\log_{2} 3} = \frac{2 + a + b}{b}$