Giải mục 2 trang 99, 100 SGK Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 2

Một người dùng một lực $\vec{F}$ có cường độ là 10 N kéo một chiếc xe đi quãng đường dài 100 m. Tính công sinh bởi lực $\vec{F}$ , biết rằng góc giữa vectơ $\vec{F}$ và hướng di chuyển là $45^{\circ}$ . (Công A (đơn vị: J) bằng tích của ba đại lượng: cường độ của lực $\vec{F}$ , độ dài quãng đường và côsin các góc giữa vectơ $\vec{F}$ và độ dịch chuyển $\vec{d}$ ).

Lời giải chi tiết:

Theo giả thiết ta có: $A = | \vec{F} | . | \vec{d} | . \cos (\vec{F}, \vec{d})$

$\Rightarrow A = 10.100. \cos 45^{\circ} = 500 \sqrt{2} (J)$

Vậy công sinh bởi lực $\vec{F}$ là $500 \sqrt{2}$ (J)

Thực hành 2

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh huyền bằng $\sqrt{2}$ .

Tính các tích vô hướng: $\vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A C} . \vec{B C}, \vec{B A} . \vec{B C}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Vận dụng công thức $\vec{A B} . \vec{A C} = | \vec{A B} | . | \vec{A C} | . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$

Bước 2: Xác định độ dài cạnh AB, AC và góc giữa hai vecto $(\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{B A C}$

Lời giải chi tiết:

+) Ta có: $A B ⊥ A C \Rightarrow \vec{A B} ⊥ \vec{A C} \Rightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = 0$

+) $\vec{A C} . \vec{B C} = | \vec{A C} | . | \bar{B C} | . \cos (\vec{A C}, \vec{B C})$

Ta có: $B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{2 A C^{2}} = \sqrt{2}$ $\Rightarrow A C = 1$

$\Rightarrow \vec{A C} . \vec{B C} = 1. \sqrt{2} . \cos (45^{\circ}) = 1$

+) $\vec{B A} . \vec{B C} = | \vec{B A} | . | \vec{B C} | . \cos (\vec{B A}, \vec{B C}) = 1. \sqrt{2} . \cos (45^{\circ}) = 1$

Thực hành 3

Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có độ dài lần lượt là 3 và 8 có tích vô hướng là $12 \sqrt{2}$ .Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a}, \vec{b}) \Rightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a}, \vec{b})$

$\Leftrightarrow 12 \sqrt{2} = 3.8. \cos (\vec{a}, \vec{b}) \Leftrightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 45^{\circ}$

Vậy góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là $45^{\circ}$

Vận dụng 1

Một người dùng một lực $\vec{F}$ có độ lớn là 20 N kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50 m cùng hướng với $\vec{F}$ . Tính công sinh bởi lực $\vec{F}$ .

Phương pháp giải:

Công thức tính công: $A = \vec{F} . \vec{d}$

Tích vô hướng: $\vec{F} . \vec{d} = | \vec{F} | . | \vec{d} | . \cos (\vec{F}, \vec{d})$

Lời giải chi tiết:

Gọi vectơ dịch chuyển của vật là $\vec{d}$ , ta có $| \vec{d} | = 50$ .

Theo giả thiết $\vec{F}$ và $\vec{d}$ cùng hướng nên $(\vec{F}, \vec{d}) = 0^{\circ}$

Công sinh ra bởi lực $\vec{F}$ được tính bằng:

$A = \vec{F} . \vec{d} = | \vec{F} | . | \vec{d} | . \cos (\vec{F}, \vec{d}) = 20.50. \cos 0^{\circ} = 1000$ (J)