Giải mục 3 trang 10, 11

KP7

Trả lời câu hỏi Khám phá 7 trang 10 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Ta có ${\left(\frac{x^3}{3}\right)}^{\prime }=x^2$ và ${\left(x^3\right)}^{\prime }=3x^2$.

a) Tìm $\int x^{2}dx$ và $3\int x^{2}dx$.

b) Tìm $\int 3x^{2}dx$.

c) Có nhận xét gì về $\int 3x^{2}dx$ và $3\int x^{2}dx$?

Phương pháp giải:

a, b) Sử dụng kiến thức nếu $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$ thì $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$

c) So sánh $\int 3x^{2}dx$ và $3\int x^{2}dx$ và rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Do ${\left(\frac{x^3}{3}\right)}^{\prime }=x^2$ nên $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$.

Suy ra $3\int x^{2}dx=3\left(\frac{x^3}{3}+C\right)=x^3+3C$

b) Do ${\left(x^3\right)}^{\prime }=3x^2$ nên $\int 3x^{2}dx=x^3+C$.

c) Ta thấy rằng $\int 3x^{2}dx$ và $3\int x^{2}dx$ đều cùng có dạng $x^3+C$, với $C$ là một hằng số. Do đó $\int 3x^{2}dx=3\int x^{2}dx$.

TH5

Trả lời câu hỏi Thực hành 5 trang 10 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tìm:

a) $\int \left(-\frac{\cos x}{4}\right)dx$.

b) $\int 2^{2x+1}dx$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng các công thức $\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx$ và $\int \cos xdx=\sin x+C$.

b) Sử dụng các công thức $\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx$ và $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$.

Lời giải chi tiết:

a) $\int \left(-\frac{\cos x}{4}\right)dx=-\frac{1}{4}\int \cos xdx=-\frac{1}{4}\sin x+C$.

b) $\int 2^{2x+1}dx=2\int {\left(2^2\right)}^{x}dx$

$=2\int 4^{x}dx=2\frac{4^x}{\ln 4}+C=\frac{4^x}{\ln 2}+C$.

KP8

Trả lời câu hỏi Khám phá 8 trang 10 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Ta có ${\left(\frac{x^3}{3}\right)}^{\prime }=x^2$, ${\left(x^2\right)}^{\prime }=2x$ và ${\left(\frac{x^3}{3}+x^2\right)}^{\prime }=x^2+2x$.

a) Tìm $\int x^{2}dx$, $\int 2xdx$ và $\int x^{2}dx+\int 2xdx$

b) Tìm $\int \left(x^2+2x\right)dx$.

c) Có nhận xét gì về $\int \left(x^2+2x\right)dx$ và $\int x^{2}dx+\int 2xdx$?

Phương pháp giải:

a, b) Sử dụng kiến thức nếu $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$ thì $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$.

c) So sánh $\int x^{2}dx+\int 2xdx$ và $\int \left(x^2+2x\right)dx$ và rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Do ${\left(\frac{x^3}{3}\right)}^{\prime }=x^2$ nên $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C_1$.

Do ${\left(x^2\right)}^{\prime }=2x$ nên $\int 2xdx=x^2+C_2$.

Suy ra $\int x^{2}dx+\int 2xdx=\frac{x^3}{3}+x^2+C_1+C_2$.

b) Do ${\left(\frac{x^3}{3}+x^2\right)}^{\prime }=x^2+2x$ nên $\int \left(x^2+2x\right)dx=\frac{x^3}{3}+x^2+C$.

c) Ta thấy rằng $\int x^{2}dx+\int 2xdx$ và $\int \left(x^2+2x\right)dx$ đều cùng có dạng $\frac{x^3}{3}+x^2+C$, với $C$ là một hằng số. Do đó $\int x^{2}dx+\int 2xdx=\int \left(x^2+2x\right)dx$.

TH6

Trả lời câu hỏi Thực hành 6 trang 11 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tìm:

a) $\int \left(3x^3+\frac{2}{\sqrt[5]{5x^3}}\right)dx$ $\left(x>0\right)$.

b) $\int \left(\frac{3}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất nguyên hàm của tổng, hiệu hai hàm số và nguyên hàm của tích một số với một hàm số để đưa về tính nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp.

Lời giải chi tiết:

a) Với $x>0$, ta có:

$\int \left(3x^3+\frac{2}{\sqrt[5]{5x^3}}\right)dx=3\int x^{3}dx+2\int \frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}dx$

$=3\int x^{3}dx+2\int x^{\frac{-3}{5}}dx=\frac{3x^4}{4}+\frac{2x^{\frac{2}{5}}}{\frac{2}{5}}+C$

$=\frac{3x^4}{4}+5\sqrt[5]{5x^2}+C$.

b) $\int \left(\frac{3}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx=3\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx-\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$

$=3\tan x-\left(-\cot x\right)+C=3\tan x+\cot x+C$.

TH7

Trả lời câu hỏi Thực hành 7 trang 11 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Một ô tô đang chạy với tốc độ 19 m/s thì hãm phanh và chuyển động chậm dần với tốc độ v(t) = 19 - 2t (m/s). Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 1 giây, 2 giây, 3 giây là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

Gọi $s\left(t\right)$ là quãng đường ô tô đi được kể từ khi hãm phanh cho đến thời điểm $t$ giây.

Do $s^{\prime }\left(t\right)=v\left(t\right)$, nên $s\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt$. Do mốc thời gian được tính kể từ khi hãm phanh, nên $s\left(0\right)=0$. Từ đó ta tìm được hàm $s\left(t\right)$. Quãng đường ô tô đi được sau 1 giây, 2 giây, 3 giây lần lượt là $s\left(1\right)$, $s\left(2\right)$, $s\left(3\right)$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $s\left(t\right)$ là quãng đường ô tô đi được kể từ khi hãm phanh cho đến thời điểm $t$ giây.

Do $s^{\prime }\left(t\right)=v\left(t\right)$, nên:

$s\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt=\int \left(19-2t\right)dt$

$=19\int dt-\int 2tdt=19t-t^2+C$.

Mặt khác, do mốc thời gian được tính kể từ khi hãm phanh, nên $s\left(0\right)=0$.

Suy ra $19.0-0^2+C=0\Rightarrow C=0$.

Vậy quãng đường ô tô đi được kể từ khi hãm phanh cho đến thời điểm $t$ giây là $s\left(t\right)=19t-t^2$.

Quãng đường ô tô đi được sau 1 giây hãm phanh là $s\left(1\right)=19.1-1^2=18$ (m).

Quãng đường ô tô đi được sau 2 giây hãm phanh là $s\left(2\right)=19.2-2^2=34$ (m).

Quãng đường ô tô đi được sau 3 giây hãm phanh là $s\left(1\right)=19.3-3^2=48$ (m).