Giải mục 3 trang 11

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 11 SGK Toán 12 Cánh diều

a) Hàm số $y=-\cos x$ có là nguyên hàm của hàm số $y=\sin x$ hay không?

b) Hàm số $y=\sin x$ có là nguyên hàm của hàm số $y=\cos x$ hay không?

c) Với $x\notin k\pi$ $(k\in Z)$, hàm số $y=\cot x$ có là nguyên hàm của hàm số $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ hay không?

d) Với $x\notin \frac{\pi }{2}+k\pi$ $(k\in Z)$, hàm số $y=\tan x$ có là nguyên hàm của hàm số $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ hay không?

Phương pháp giải:

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Lời giải chi tiết:

a) $y^{\prime }=\sin x$ nên $y=-\cos x$ là nguyên hàm của hàm số $y=\sin x$.

b) $y^{\prime }=\sin x$ nên $y=\sin x$ là nguyên hàm của hàm số $y=\cos x$.

c) Với $x\notin k\pi (k\in Z)$, $y^{\prime }={\left(-\cot x\right)}^{\prime }={\left(-\frac{\cos x}{\sin x}\right)}^{\prime }$

$=-\frac{-{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$.

Do đó $y=-\cot x$ là nguyên hàm của hàm số $\frac{1}{{\sin }^2\left(x\right)}$.

d) Với $x\notin \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in Z)$, $y^{\prime }={\left(\tan x\right)}^{\prime }={\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{\prime }$

$=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.

Do đó $y=\tan x$ là nguyên hàm của hàm số $\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}$.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 11 SGK Toán 12 Cánh diều

Tìm:

a) $\int 8\sin xdx$;

b) $\int (2\sin x-5\cos x)dx$.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) $\int 8\sin xdx=8\int \sin xdx$

$=8(-\cos x)+C=-8\cos x+C$.

b) $\int (2\sin x-5\cos x)dx=2\int \sin xdx-5\int \cos xdx$

$=2(-\cos x)-5\sin x+C=-2\cos x-5\sin x+C$.

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 11 SGK Toán 12 Cánh diều

Tìm:

a) $\int (1+{\cot }^{2}x)dx$;

b) $\int \frac{1}{1+\cos 2x}dx$.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) $\int (1+{\cot }^{2}x)dx=\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$.

b) $\int \frac{1}{1+\cos 2x}dx=\int \frac{1}{1+(2{\cos }^{2}x-1)}dx=\int \frac{1}{2{\cos }^{2}x}dx$

$=\frac{1}{2}\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\frac{1}{2}\tan x+C$.