Giải mục 3 trang 112, 113, 114 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Hoạt động 4

Hãy nêu lại công thức tính thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác, khối lăng trụ đứng tứ giác.

Phương pháp giải:

Nhớ lại công thức để nêu ra.

Lời giải chi tiết:

Thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác, khối lăng trụ đứng tứ giác bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

V = B.h với B là diện tích đáy, h là chiều cao khối lăng trụ.

Luyện tập 4

Tính thể tích của khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ biết tất cả các cạnh bằng $a$ và hình chiếu của $A^{'}$ trên mặt phẳng $(A B C)$ là trung điểm của $A B$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ: $V = S h$ .

Lời giải chi tiết:

Gọi $H$ là trung điểm của $A B$ $\Rightarrow A^{'} H ⊥ (A B C)$

$A H = \frac{1}{2} A B = \frac{a}{2}$

$Δ A A^{'} H$ vuông tại $H$ $\Rightarrow A^{'} H = \sqrt{A A^{' 2} - A H^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\begin{array}{l} S_{Δ A B C} = \frac{A B^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \\ V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{Δ A B C} . A^{'} H = \frac{3 a^{3}}{8} \end{array}$

Luyện tập 5

Cho khối tứ diện đều $A B C D$ cạnh $a$ . Chứng minh rằng thể tích của khối tứ diện đó bằng $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3} S h$ .

Lời giải chi tiết:

Gọi $M$ là trung điểm của $B C$ , $O$ là trọng tâm tam giác $A B C$ .

$\Rightarrow S O ⊥ (A B C)$

Tam giác $A B C$ đều

$\Rightarrow A M = \frac{A B \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow A O = \frac{2}{3} A M = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Tam giác $S A O$ vuông tại $O \Rightarrow S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

$\begin{array}{l} S_{Δ A B C} = \frac{A B^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \\ V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . S O = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} \end{array}$

Luyện tập 6

Một thùng đựng rác có dạng khối chóp cụt tứ giác đều với hai cạnh đáy lần lượt dài 2 dm và 3 dm, chiều cao bằng 4 dm. Tính thể tích của thùng đựng rác.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt đều: $V = \frac{1}{3} h (S + \sqrt{S S^{'}} + S^{'})$ .

Lời giải chi tiết:

Diện tích đáy lớn là: $S = A B^{2} = 3^{2} = 9$

Diện tích đáy bé là: $S^{'} = 2^{2} = 4$

Thể tích hình chóp cụt là:

$V = \frac{1}{3} h (S + \sqrt{S S^{'}} + S^{'}) = \frac{1}{3} .4 (9 + \sqrt{9.4} + 4)$

$= \frac{76}{3} \approx 25, 3 (d m^{3})$ .