Giải mục 3 trang 115, 116, 117, 118

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 115 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$ có đồ thị như Hình 5.6. Cho $x_n=\frac{1}{n}$, chứng tỏ rằng $f\left(x_n\right)\to +\infty$.

Phương pháp giải:

Giả sử khoảng (a;b) chứa $x_0$ và hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $\left(a;b\right)\setminus \left\{x_0\right\}$. Ta nói hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn $+\infty$ khi $x\to x_0$ nếu dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $x_n\in \left(a;b\right)\setminus \left\{x_0\right\},x_n\to x_0$, ta có $f\left(x_n\right)\to +\infty ,$ kí hiệu $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=+\infty$.

Ta nói hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn $-\infty$ khi $x\to x_0$, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=-\infty$, nếu $\underset{x\to x_0}{lim}\left[-f\left(x\right)\right]=+\infty$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $R\setminus \left\{0\right\}$.

$\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{lim}f\left(x_n\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{1}{{\left(\frac{1}{n}\right)}^2}$

$=\underset{x\to +\infty }{lim}{n}^2=+\infty$. 

Vậy $f\left(x_n\right)\to +\infty$.

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 116 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}$. Với cá dãy số $\left(x_n\right)$ và $\left({x^{\prime }}_n\right)$ cho bởi $x_n=1+\frac{1}{n},x{}_n^{\prime }=1-\frac{1}{n},$ tính $\underset{n\to +\infty }{lim}f\left(x_n\right)$ và $\underset{n\to +\infty }{lim}f\left(x{}_n^{\prime }\right)$.

Phương pháp giải:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(x_0;b\right)$. Ta nói hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn $+\infty$ khi $x\to x_0$ về bên phải nếu với dãy số $\left(x_0\right)$ bất kì thỏa mãn $x_0<x_n<b,x_n\to x_0$, ta có $f\left(x_n\right)\to +\infty$, kí hiệu $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=+\infty$.

Lời giải chi tiết:

$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x_n\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{1}{1+\frac{1}{n}-1}=+\infty$.

$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x{}_n^{\prime }\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{1}{1-\frac{1}{n}-1}=-\infty$.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 116 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

a) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{2}{\left|x\right|}$;                            

b) $\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{1}{\sqrt{2-x}}$.

Phương pháp giải:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(a;x_0\right)$. Ta nói hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn $+\infty$ khi $x\to x_0$ về bên trái nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì thỏa mãn $a<x_n<x_0,x_n\to x_0$, ta có $f\left(x_n\right)\to +\infty$, kí hiệu $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=+\infty$.

Lời giải chi tiết:

a) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{2}{\left|x\right|}=+\infty$.

b) $\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{1}{\sqrt{2-x}}=+\infty$.

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 118 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Tính:$\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{2x-1}{x-2}$  và $\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{2x-1}{x-2}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của thương.

Lời giải chi tiết:

$x\to 2^{+}\Rightarrow x-2>0$.

$\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{2x-1}{x-2}=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{2.2-1}{x-2}=+\infty$. 

$x\to 2^{-}\Rightarrow x-2<0$.

$\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{2x-2}{x-2}=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{2.2-1}{x-2}=-\infty$.