Giải mục 3 trang 121, 122

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 121 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho hai hàm số $f\left(x\right)=x^2$ và $g\left(x\right)=-x+1$.

a) Xét tính liên tục của hai hàm số trên tại $x=1$.

b) Tính $L=\underset{x\to 1}{lim}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]$ và so sánh L với $f\left(1\right)+g\left(1\right)$.

Phương pháp giải:

Giả sử hai hàm số $y=f\left(x\right)$ và $y=g\left(x\right)$ liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:

a) Các hàm số $y=f\left(x\right)+g\left(x\right),y=f\left(x\right)-g\left(x\right),y=f\left(x\right).g\left(x\right)$ liên tục tại $x_0$.

b) Hàm số $y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ liên tục tại $x_0$ nếu $g\left(x_0\right)\ne 0$.

Lời giải chi tiết:

a) $\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{lim}{x}^2=1$.

$f\left(1\right)=1^2=1$.

Vậy $f\left(x\right)$ liên tục tại $x=1$.

$\underset{x\to 1}{lim}g\left(x\right)=\underset{x\to 1}{lim}\left(-x+1\right)=0$.

$g\left(1\right)=-1+1=0$.

Vậy $g\left(x\right)$ liên tục tại $x=1$.

b) $f\left(1\right)+g\left(1\right)=1+0=1$.

$\underset{x\to 1}{lim}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=\underset{x\to 1}{lim}\left(x^2-x+1\right)=1$.

$\underset{x\to 1}{lim}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=f\left(1\right)+g\left(1\right)$.

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 122 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Giải bài toán ở tình huống mở đầu.

Một người lái xe từ địa điểm A đến địa điểm B trong thời gian 3 giờ. Biết quãng đường từ A đến B dài 180 km. Chứng tỏ rằng có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm $c\in (a;b)$ sao cho f(c) = 0.

Lời giải chi tiết:

Theo giả thiết, vận tốc trung bình của xe là $v_{TB}=\frac{180}{3}=60$ (km/h).

Gọi $v\left(t\right)$ là hàm biểu thị vận tốc của xe tại thời điểm $t$.

Do xe không chuyển động đều, để $v_{TB}=60$, nếu có thời điểm xe chạy chậm hơn $v_{TB}=60$ thì phải có thời điểm xe chạy nhanh hơn $v_{TB}=60$.

Tại thời điểm xuất phát, vận tốc của xe $v\left(0\right)=0$ nên chắc chắn có một thời điểm $t_1$ xe chạy với vận tốc $v\left(t_1\right)>v_{TB}=60$.

Xét hàm số $f\left(t\right)=v\left(t\right)-60$, rõ ràng $f\left(t\right)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[0;t_1]$.

+ $f\left(0\right)=v\left(0\right)-60=0-60=-60<0$;

+ $f\left(t_1\right)=v\left(t_1\right)-60=v\left(t_1\right)-60>0$ (do $v\left(t_1\right)>60$).

Do đó tồn tại thời điểm $t^{\prime }$ thuộc khoảng $(0;t_1)$ sao cho $f\left(t^{\prime }\right)=0\iff v\left(t^{\prime }\right)-60=0\iff v\left(t^{\prime }\right)=60$.

Vậy có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h.

Thời điểm đó là $t^{\prime }$.