Giải mục 3 trang 13, 14, 15

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 13 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Thực hiện các bước sau để giải phương trình: $2x^2-8x+3=0$.

a) Chuyển hạng tử tự do sang vế phải.

b) Chia cả hai vế của phương trình cho hệ số của $x^2$.

c) Thêm vào hai vế của phương trình nhận được ở câu b với cùng một số để vế trái có thể biến đổi thành một bình phương. Từ đó tìm nghiệm x.

Phương pháp giải:

a) Chuyển hạng tử tự do của phương trình sang vế phải ta được phương trình $2x^2-8x=-3$.

b) Chia cả hai vế của phương trình cho hệ số của $x^2$ ta được: $x^2-4x=\frac{-3}{2}$.

c) Các bước giải phương trình:

+ Bước 1: Cộng thêm 4 vào 2 vế để đưa phương trình về dạng: $A^2=B\left(B\ge 0\right)$.

+ Bước 2: Nếu $A^2=B\left(B\ge 0\right)$ thì $A=\sqrt{B}$ hoặc $A=-\sqrt{B}$. Giải các phương trình đó và kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Chuyển hạng tử tự do của phương trình sang vế phải ta được phương trình $2x^2-8x=-3$.

b) Chia cả hai vế của phương trình cho hệ số của $x^2$ ta được: $x^2-4x=\frac{-3}{2}$.

c) $x^2-4x=\frac{-3}{2}$

$x^2-4x+4=\frac{-3}{2}+4$

${\left(x-2\right)}^2=\frac{5}{2}$

$x-2=\frac{\sqrt{10}}{2}$ hoặc $x-2=-\frac{\sqrt{10}}{2}$

$x=2+\frac{\sqrt{10}}{2}$          $x=2-\frac{\sqrt{10}}{2}$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=2+\frac{\sqrt{10}}{2}$; $x=2-\frac{\sqrt{10}}{2}$.

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 14 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Áp dụng công thức nghiệm, giải các phương trình sau:

a) $2x^2-5x+1=0$;

b) $x^2+8x+16=0$;

c) $x^2-x+1=0$.

Phương pháp giải:

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$. Tính biệt thức $\Delta =b^2-4ac$.

+ Nếu $\Delta >0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$.

+ Nếu $\Delta =0$ thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$.

+ Nếu $\Delta <0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\Delta ={\left(-5\right)}^2-\mathrm{4.2.1}=17>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4};x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$

b) Ta có: $\Delta =8^2-\mathrm{4.1.16}=0$ nên phương trình có nghiệm kép:$x_1=x_2=\frac{-8}{2}=-4$

c) Ta có: $\Delta ={\left(-1\right)}^2-\mathrm{4.1.1}=-3<0$ nên phương trình vô nghiệm.

TTN

Trả lời câu hỏi Thử thách nhỏ trang 14 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Pi hỏi: Có thể nói gì về nghiệm của phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0$ nếu a và c trái dấu?

Em hãy trả lời câu hỏi của anh Pi.

Phương pháp giải:

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$ có: $\Delta =b^2-4ac$

Nếu a và c trái dấu thì tích $ac<0$. Từ đó, xét dấu của biệt thức $\Delta$. Do đó, kết luận được số nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0$.

Lời giải chi tiết:

Vì a và c trái dấu thì tích $ac<0$, suy ra: $-ac>0$.

Do đó, $\Delta =b^2-4ac>0$. Suy ra, phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt.

Vậy nếu a và c trái dấu thì phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt.

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 15 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Xác định a, b’, c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình sau:

a) $3x^2+8x-3=0$;

b) $x^2+6\sqrt{2}x+2=0$.

Phương pháp giải:

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$, với $b=2b^{\prime }$ và ${\Delta }^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$

+ Nếu ${\Delta }^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\Delta }^{\prime }}}{a};x_2=\frac{-b-\sqrt{{\Delta }^{\prime }}}{a}$.

+ Nếu ${\Delta }^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=\frac{-b^{\prime }}{a}$.

+ Nếu ${\Delta }^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $a=3,b^{\prime }=4,c=-3$ và ${\Delta }^{\prime }=4^2-3.\left(-3\right)=25>0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1=\frac{-4+\sqrt{25}}{3}=\frac{1}{3};x_2=\frac{-4-\sqrt{25}}{3}=-3$.

b) Ta có: $a=1,b^{\prime }=3\sqrt{2},c=2$ và ${\Delta }^{\prime }={\left(3\sqrt{2}\right)}^2-1.2=16>0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1=-3\sqrt{2}+4;x_2=-3\sqrt{2}-4$

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 15 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Tình huống mở đầu: Trên một mảnh đất hình chữ nhật có kích thước 28m x 16m, người ta dự định làm một bể bơi có đường đi xung quanh (H.6.9). Hỏi bề rộng của đường đi là bao nhiêu để diện tích của bể bơi là $288m^2$?

Phương pháp giải:

- Giải phương trình đã lập được ở HĐ3 để tìm x:

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$, với $b=2b^{\prime }$ và ${\Delta }^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$

+ Nếu ${\Delta }^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\Delta }^{\prime }}}{a};x_2=\frac{-b-\sqrt{{\Delta }^{\prime }}}{a}$.

+ Nếu ${\Delta }^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=\frac{-b^{\prime }}{a}$.

+ Nếu ${\Delta }^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

- Đối chiếu x vừa tìm được với điều kiện và đưa ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Theo kết quả của HĐ3 ta có: $4x^2-88x+160=0$

$x^2-22x+40=0$

Ta có: ${\Delta }^{\prime }={11}^2-1.40=81>0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{11+\sqrt{81}}{1}=20\left(KTM\right);x_2=\frac{11-\sqrt{81}}{1}=2\left(TM\right)$

Vậy bề rộng của đường đi là 2m thì diện tích của bể bơi là $288m^2$.