Giải mục 3 trang 16, 17

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 16 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

a) Trong Hình 5, M là điểm biểu diễn của góc lượng giác $\alpha$ trên đường tròn lượng giác. Giải thích vì sao ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.

b) Chia cả hai vế của biểu thức ở câu a) cho ${\cos }^2\alpha$ ta được đẳng thức nào?

c) Chia cả hai vế của biểu thức ở câu a) cho ${\sin }^2\alpha$ ta được đẳng thức nào?

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức đã học ở phần trên để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

a) Do $\begin{array}{c}\sin \alpha =MH\Rightarrow {\sin }^2\alpha =M{H}^2\\ \cos \alpha =OH\Rightarrow {\cos }^2\alpha =O{H}^2\end{array}$

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác OMH vuông tại H ta có:

$\begin{array}{c}M{H}^2+O{H}^2=O{M}^2=1\\ \Rightarrow {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\end{array}$

b) Chia cả hai vế cho ${\cos }^2\alpha$, ta được:

$\begin{array}{c}\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\\ \iff {\tan }^2\alpha +1=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\end{array}$

c) Chia cả hai vế cho ${\sin }^2\alpha$, ta được:

$\begin{array}{c}\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\\ \iff {\cot }^2\alpha +1=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\end{array}$

TH3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 17 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho $\tan \alpha =\frac{2}{3}$ với $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$. Tính $\cos \alpha$ và $\sin \alpha$.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức đã học ở phần trên để tính

Lời giải chi tiết:

Ta có:

 $\begin{array}{c}{\tan }^2\alpha +1=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\\ \Rightarrow {\left(\frac{2}{3}\right)}^2+1=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\\ \Rightarrow \frac{1}{{\cos }^2\alpha }=\frac{13}{9}\\ \Rightarrow \cos \alpha =\pm \frac{3\sqrt{13}}{13}\end{array}$

Do $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}\Rightarrow \cos \alpha =-\frac{3\sqrt{13}}{13}$

Ta có: $\begin{array}{c}\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\Rightarrow \frac{2}{3}=\sin \alpha :\left(-\frac{3\sqrt{13}}{13}\right)\\ \Rightarrow \sin \alpha =-\frac{2\sqrt{13}}{13}\end{array}$