Giải mục 3 trang 18, 19 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Hoạt động 3

Từ các công thức cộng, hãy tính:

a) $\cos (a - b) + \cos (a + b)$ theo $\cos a$ và $\cos b$ .

b) $\cos (a - b) - \cos (a + b)$ theo $\sin a$ và $\sin b$ .

c) $\sin (a - b) + \sin (a + b)$ theo $\sin a$ và $\cos b$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng vào các công thức trên.

Lời giải chi tiết:

a) $\cos (a - b) + \cos (a + b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b + \cos a \cos b - \sin a \sin b = 2 \cos a \cos b$

b) $\cos (a - b) - \cos (a + b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b - \cos a \cos b + \sin a \sin b = 2 \sin a \sin b$

c) $\sin (a - b) + \sin (a + b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b + \sin a \cos b + \cos a \sin b = 2 \sin a \cos b$

Luyện tập 3

Không dùng máy tính cầm tay, tính $\sin \frac{π}{12} \cos \frac{17 π}{12}$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

$\sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin (a + b) + \sin (a - b)]$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} \sin \frac{π}{12} \cos \frac{17 π}{12} = \frac{\sin (\frac{π}{12} - \frac{17 π}{12}) + \sin (\frac{π}{12} + \frac{17 π}{12})}{2} = \frac{\sin (- \frac{4 π}{3}) + \sin (\frac{3 π}{2})}{2} \\ = \frac{- \frac{1}{2} - 1}{2} = - \frac{3}{4} \end{array}$

Hoạt động 4

Nếu đặt u = a – b và v = a + b trong các công thức:

$\cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos (a - b) + \cos (a + b)];$

$\sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin (a - b) + \sin (a + b)]$

thì ta thu được các công thức nào theo u và v?

Phương pháp giải:

Thay a – b = u, a + b = v, $a = \frac{u + v}{2}, - b = \frac{u - v}{2}$ vào công thức.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} \cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos (a - b) + \cos (a + b)] \\ \Leftrightarrow \cos a \cos (- b) = \frac{1}{2} [\cos (a - b) + \cos (a + b)] \\ \Leftrightarrow \cos (\frac{u + v}{2}) \cos (\frac{u - v}{2}) = \frac{1}{2} (\cos u + \cos v) \\ \Leftrightarrow 2 \cos (\frac{u + v}{2}) \cos (\frac{u - v}{2}) = \cos u + \cos v \\ \sin a \cos (- b) = \frac{1}{2} [\sin (a - b) + \sin (a + b)] \\ \Leftrightarrow \sin (\frac{u + v}{2}) \cos (\frac{u - v}{2}) = \frac{1}{2} (\sin u + \sin v) \\ \Leftrightarrow 2 \sin (\frac{u + v}{2}) \cos (\frac{u - v}{2}) = \sin u + \sin v \end{array}$

Luyện tập 4

Chứng minh $\frac{\cos \frac{π}{17} \cos \frac{13 π}{17}}{\cos \frac{3 π}{17} + \cos \frac{5 π}{17}} = - \frac{1}{2}$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lượng giác.

$\cos (- α) = \cos α$

$\cos (π - α) = - \cos α$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} \frac{\cos \frac{π}{17} \cos \frac{13 π}{17}}{2 \cos \frac{4 π}{17} \cos (- \frac{π}{17})} = \frac{\cos \frac{π}{17} \cos \frac{13 π}{17}}{2 \cos \frac{4 π}{17} \cos \frac{π}{17}} = \frac{\cos \frac{13 π}{17}}{2 \cos \frac{4 π}{17}} \\ = \frac{\cos (π - \frac{4 π}{17})}{2 \cos \frac{4 π}{17}} = \frac{- \cos \frac{4 π}{17}}{2 \cos \frac{4 π}{17}} = - \frac{1}{2} . \end{array}$