Giải mục 3 trang 22, 23, 24

KP3

Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 22 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho đồ thị của hàm số $y=\frac{x^2+1}{x}$ và đường thẳng y = x. Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = x tại điểm N (Hình 7).

a) Tính $\underset{x\to -\infty }{lim}(\frac{x^2+1}{x}-x)$ và $\underset{x\to +\infty }{lim}(\frac{x^2+1}{x}-x)$.

b) Tính MN theo x và nhận xét về MN khi $x\to +\infty$ hoặc $x\to -\infty$.

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị.

Lời giải chi tiết:

a) Tập xác định: $D=R\setminus \left\{0\right\}$.

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{lim}(\frac{x^2+1}{x}-x)=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{x^2+1-x^2}{x}=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{1}{x}=0$;

$\underset{x\to +\infty }{lim}(\frac{x^2+1}{x}-x)=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{x^2+1-x^2}{x}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{1}{x}=0$.

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x.

b) MN = y – x = $\frac{x^2+1}{x}-x=\frac{1}{x}$.

Khi $x\to +\infty$ hoặc $x\to -\infty$ thì MN tiến dần về 0.

TH3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2-3x}{x+5}$.

Phương pháp giải:

Đường thẳng y = ax + b, a ≠ 0, được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to -\infty }{lim}\left[f\right(x)-(ax+b\left)\right]=0$ hoặc $\underset{x\to +\infty }{lim}\left[f\right(x)-(ax+b\left)\right]=0$.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: $D=R\setminus \left\{-5\right\}$.

$a=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{y}{x}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{\frac{2x^2-3x}{x+5}}{x}$

$=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{2x^2-3x}{x^2+5x}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{2-\frac{3}{x}}{1+\frac{5}{x}}=2$.

$b=\underset{x\to +\infty }{lim}(y-ax)=\underset{x\to +\infty }{lim}(\frac{2x^2-3x}{x+5}-2x)$

$=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{-13x}{x+5}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{-13}{1+\frac{5}{x}}=-13$.

Ta có:

$\underset{x\to +\infty }{lim}[y-(ax+b\left)\right]=\underset{x\to +\infty }{lim}[y-(2x-3\left)\right]=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{2x^2-3x}{x+5}-(2x-13)$

$=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{65}{x+5}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{\frac{65}{x}}{1+\frac{5}{x}}=0$.

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = 2x - 13.

TH4

Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Nếu trong một ngày, một xưởng sản xuất được x kilôgam sản phẩm thì chi phí trung bình (tính bằng nghìn đồng) cho một sản phẩm được cho bởi công thức: $C\left(x\right)=\frac{50x+2000}{x}$.

Tìm các đường tiệm cận của hàm số C(x).

Phương pháp giải:

- Đường thẳng x = a được gọi là một đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn: $\underset{x\to a^{-}}{limf\left(x\right)=}+\infty$, $\underset{x\to a^{+}}{limf\left(x\right)=}+\infty$, $\underset{x\to a^{-}}{limf\left(x\right)=}-\infty$, $\underset{x\to a^{+}}{limf\left(x\right)=}-\infty$.

- Đường thẳng y = m được gọi là một đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=m$ hoặc $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=m$.

- Đường thẳng y = ax + b, a ≠ 0, được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to -\infty }{lim}\left[f\right(x)-(ax+b\left)\right]=0$ hoặc $\underset{x\to +\infty }{lim}\left[f\right(x)-(ax+b\left)\right]=0$.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: $D=R\setminus \left\{0\right\}$.

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}C\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{50x+2000}{x}=\frac{2000}{0}=+\infty$;

$\underset{x\to 0^{-}}{lim}C\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{50x+2000}{x}=\frac{2000}{0}=+\infty$.

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x = 0.

$\underset{x\to +\infty }{lim}C\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{50x+2000}{x}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{50+\frac{2000}{x}}{1}=50$;

$\underset{x\to -\infty }{lim}C\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{50x+2000}{x}=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{50+\frac{2000}{x}}{1}=50$.

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng y = 50.