Giải mục 3 trang 22, 23, 24 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

KP3

Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 22 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho đồ thị của hàm số $y = \frac{x^{2} + 1}{x}$ và đường thẳng y = x. Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = x tại điểm N (Hình 7).

a) Tính $lim_{x \to - \infty} (\frac{x^{2} + 1}{x} - x)$ và $lim_{x \to + \infty} (\frac{x^{2} + 1}{x} - x)$ .

b) Tính MN theo x và nhận xét về MN khi $x \to + \infty$ hoặc $x \to - \infty$ .

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị.

Lời giải chi tiết:

a) Tập xác định: $D = R ∖ {0}$ .

Ta có: $lim_{x \to - \infty} (\frac{x^{2} + 1}{x} - x) = lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{x} = lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} = 0$ ;

$lim_{x \to + \infty} (\frac{x^{2} + 1}{x} - x) = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{x} = lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0$ .

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x.

b) MN = y – x = $\frac{x^{2} + 1}{x} - x = \frac{1}{x}$ .

Khi $x \to + \infty$ hoặc $x \to - \infty$ thì MN tiến dần về 0.

TH3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x^{2} - 3 x}{x + 5}$ .

Phương pháp giải:

Đường thẳng y = ax + b, a ≠ 0, được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $lim_{x \to - \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ hoặc $lim_{x \to + \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ .

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: $D = R ∖ {- 5}$ .

$a = lim_{x \to + \infty} \frac{y}{x} = lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{2 x^{2} - 3 x}{x + 5}}{x}$

$= lim_{x \to + \infty} \frac{2 x^{2} - 3 x}{x^{2} + 5 x} = lim_{x \to + \infty} \frac{2 - \frac{3}{x}}{1 + \frac{5}{x}} = 2$ .

$b = lim_{x \to + \infty} (y - a x) = lim_{x \to + \infty} (\frac{2 x^{2} - 3 x}{x + 5} - 2 x)$

$= lim_{x \to + \infty} \frac{- 13 x}{x + 5} = lim_{x \to + \infty} \frac{- 13}{1 + \frac{5}{x}} = - 13$ .

Ta có:

$lim_{x \to + \infty} [y - (a x + b)] = lim_{x \to + \infty} [y - (2 x - 3)] = lim_{x \to + \infty} \frac{2 x^{2} - 3 x}{x + 5} - (2 x - 13)$

$= lim_{x \to + \infty} \frac{65}{x + 5} = lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{65}{x}}{1 + \frac{5}{x}} = 0$ .

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = 2x - 13.

TH4

Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Nếu trong một ngày, một xưởng sản xuất được x kilôgam sản phẩm thì chi phí trung bình (tính bằng nghìn đồng) cho một sản phẩm được cho bởi công thức: $C (x) = \frac{50 x + 2000}{x}$ .

Tìm các đường tiệm cận của hàm số C(x).

Phương pháp giải:

- Đường thẳng x = a được gọi là một đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn: $\underset{x \to a^{-}}{lim f (x) =} + \infty$ , $\underset{x \to a^{+}}{lim f (x) =} + \infty$ , $\underset{x \to a^{-}}{lim f (x) =} - \infty$ , $\underset{x \to a^{+}}{lim f (x) =} - \infty$ .

- Đường thẳng y = m được gọi là một đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $lim_{x \to - \infty} f (x) = m$ hoặc $lim_{x \to + \infty} f (x) = m$ .

- Đường thẳng y = ax + b, a ≠ 0, được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $lim_{x \to - \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ hoặc $lim_{x \to + \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ .

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: $D = R ∖ {0}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} C (x) = lim_{x \to 0^{+}} \frac{50 x + 2000}{x} = \frac{2000}{0} = + \infty$ ;

$lim_{x \to 0^{-}} C (x) = lim_{x \to 0^{-}} \frac{50 x + 2000}{x} = \frac{2000}{0} = + \infty$ .

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x = 0.

$lim_{x \to + \infty} C (x) = lim_{x \to + \infty} \frac{50 x + 2000}{x} = lim_{x \to + \infty} \frac{50 + \frac{2000}{x}}{1} = 50$ ;

$lim_{x \to - \infty} C (x) = lim_{x \to - \infty} \frac{50 x + 2000}{x} = lim_{x \to - \infty} \frac{50 + \frac{2000}{x}}{1} = 50$ .

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng y = 50.