Giải mục 3 trang 23, 24, 25

Tính: a) (intlimits_1^2 {frac{1}{{{x^3}}}dx} ); b) (intlimits_1^3 {{x^{frac{2}{3}}}dx} ); c) (intlimits_1^8 {sqrt[3]{x}dx} ).

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 23 SGK Toán 12 Cánh diều

Tính:

a) $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3}} d x$ ;

b) $\int_{1}^{3} x^{\frac{2}{3}} d x$ ;

c) $\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tích phân của hàm số lũy thừa.

Lời giải chi tiết:

a) $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3}} d x = \int_{1}^{2} x^{- 3} d x = \frac{x^{- 2}}{- 2} | \begin{matrix} ^{2} \\ _{1} \end{matrix}$

$= \frac{- 1}{2 x^{2}} | \begin{matrix} ^{2} \\ _{1} \end{matrix} = \frac{- 1}{{2.2}^{2}} - \frac{- 1}{{2.1}^{2}} = \frac{3}{8}$ .

b) $\int_{1}^{3} x^{\frac{2}{3}} d x = \frac{x^{\frac{2}{3} + 1}}{\frac{2}{3} + 1} | \begin{matrix} ^{3} \\ _{1} \end{matrix} = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} | \begin{matrix} ^{3} \\ _{1} \end{matrix} = \frac{3}{5} x \sqrt[3]{x^{2}} | \begin{matrix} ^{3} \\ _{1} \end{matrix}$

$= \frac{3}{5} .3 . \sqrt[3]{3^{2}} - \frac{3}{5} .1 . \sqrt[3]{1^{2}} = \frac{9 \sqrt[3]{9} - 3}{5}$ .

c) $\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x = \int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} | \begin{matrix} ^{8} \\ _{1} \end{matrix} = \frac{3}{4} x \sqrt[3]{x} | \begin{matrix} ^{8} \\ _{1} \end{matrix}$

$= \frac{3}{4} .8 . \sqrt[3]{8} - \frac{3}{4} .1 . \sqrt[3]{1} = \frac{45}{4}$ .

LT7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 23 SGK Toán 12 Cánh diều

Tính $\int_{1}^{e} \frac{7}{3 x} d x$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tích phân của hàm số $\frac{1}{x}$ .

Lời giải chi tiết:

$\int_{1}^{e} \frac{7}{3 x} d x = \frac{7}{3} \ln | x | | \begin{matrix} ^{e} \\ _{1} \end{matrix} = \frac{7}{3} (\ln | e | - \ln | 1 |) = \frac{7}{3}$ .

LT8

Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 24 SGK Toán 12 Cánh diều

Tính:

a) $\int_{0}^{\frac{π}{4}} (3 \sin x - 2 \cos x) d x$ ;

b) $\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} (\frac{2}{\sin^{2} x} - \frac{3}{\cos^{2} x}) d x$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính tích phân của hàm số lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) $\int_{0}^{\frac{π}{4}} (3 \sin x - 2 \cos x) d x$

$= 3 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin x d x - 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos x d x$

$= - 3 \cos x | \begin{matrix} ^{\frac{π}{4}} \\ _{0} \end{matrix} - 2 \sin x | \begin{matrix} ^{\frac{π}{4}} \\ _{0} \end{matrix}$

$= - 3 (\cos \frac{π}{4} - \cos 0) - 2 (\sin \frac{π}{4} - \sin 0)$

$= - 3 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1) - 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 0)$

$= 3 - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

b) $\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} (\frac{2}{\sin^{2} x} - \frac{3}{\cos^{2} x}) d x$

$= 2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\sin^{2} x} d x - 3 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\cos^{2} x} d x$

$= - 2 \cot x | \begin{matrix} ^{\frac{π}{3}} \\ _{\frac{π}{6}} \end{matrix} - 3 \tan x | \begin{matrix} ^{\frac{π}{3}} \\ _{\frac{π}{6}} \end{matrix}$

$= - 2 (\cot \frac{π}{3} - \cot \frac{π}{6}) - 3 (\tan \frac{π}{3} - \tan \frac{π}{6})$

$= - 2 (\frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}) - 3 (\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3})$

$= - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

LT9

Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 25 SGK Toán 12 Cánh diều

Tính:

a) $\int_{0}^{1} 3^{x} d x$ ;

b) $\int_{0}^{1} ({2.3}^{x} - 5 e^{x}) d x$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính tích phân của hàm số mũ.

Lời giải chi tiết:

a) $\int_{0}^{1} 3^{x} d x = \frac{3^{x}}{\ln 3} | \begin{matrix} ^{1} \\ _{0} \end{matrix} = \frac{3^{1}}{\ln 3} - \frac{3^{0}}{\ln 3} = \frac{2}{\ln 3}$

b) $\int_{0}^{1} ({2.3}^{x} - 5 e^{x}) d x = \int_{0}^{1} {2.3}^{x} d x - \int_{0}^{1} 5 e^{x} d x$

$= 2 \int_{0}^{1} 3^{x} d x - 5 \int_{0}^{1} e^{x} d x = \frac{{2.3}^{x}}{\ln 3} | \begin{matrix} ^{1} \\ _{0} \end{matrix} - 5 e^{x} | \begin{matrix} ^{1} \\ _{0} \end{matrix}$

$= (\frac{{2.3}^{1}}{\ln 3} - \frac{{2.3}^{0}}{\ln 3}) - (5 e^{1} - 5 e^{0}) = \frac{4}{\ln 3} - 5 e + 5$ .