Giải mục 3 trang 23, 24

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 23 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x-1+\frac{2}{x+1}$ có đồ thị (C) và đường thẳng $y=x-1$ như Hình 1.24.

a) Với $x>-1$, xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng $y=x-1$. Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi $x\to +\infty$?

b) Chứng tỏ rằng $\underset{x\to +\infty }{lim}\left[f\left(x\right)-\left(x-1\right)\right]=0$. Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 như thế nào?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để tính giới hạn.

Lời giải chi tiết:

a) Nhìn vào đồ thị ta thấy, khi $x\to +\infty$ thì khoảng cách MH tiến tới 0.

b) Ta có: $\underset{x\to +\infty }{lim}\left[f\left(x\right)-\left(x-1\right)\right]$

$=\underset{x\to +\infty }{lim}\left[x-1+\frac{2}{x+1}-\left(x-1\right)\right]$

$=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{2}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}=0$.

Tính chất này được thể hiện trong Hình 1.24 là: Khoảng cách từ điểm M của đồ thị hàm số (C) đến đường thẳng $y=x-1$ tiến đến 0 khi $x\to +\infty$.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 24 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^2-4x+2}{1-x}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tìm khái niệm đường tiệm cận xiên để tìm tiệm cận xiên: Đường thẳng $y=ax+b\left(a\ne 0\right)$ gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu $\underset{x\to +\infty }{lim}\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{lim}\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$. 

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{x^2-4x+2}{1-x}=+\infty$;

$\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{x^2-4x+2}{1-x}=-\infty$

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ là đường thẳng $x=1$.

Ta có: $y=f\left(x\right)=\frac{x^2-4x+2}{1-x}=-x+3-\frac{1}{1-x}$.

$\underset{x\to +\infty }{lim}\left[f\left(x\right)-\left(-x+3\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{-1}{1-x}=0$;

$\underset{x\to -\infty }{lim}\left[f\left(x\right)-\left(-x+3\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{-1}{1-x}=0$

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ là đường thẳng $y=-x+3$.