Giải mục 3 trang 26, 27, 28, 29, 30

Hoạt động 7

a) Xét các số thực x_1, x₂, sao cho $0<x_1<x_2<\frac{\pi }{2}$. Gọi M và N lần lượt là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo x₁ rad và x₂ rad. Hãy so sánh tung độ của M và N, từ đó so sánh $\sin x_1$ và $\sin x_2$.

b) Xét các số thực x₃, x₄, sao cho $\frac{\pi }{2}<x_1<x_2<\pi$. Gọi P và Q lần lượt là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo x₃ rad và x₄ rad. Hãy so sánh tung độ của P và Q, từ đó so sánh $\sin x_3$ và $\sin x_4$.

Phương pháp giải:

Lấy x_1, x₂ và x₃, x₄  bất kì thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Tung độ của các điểm M, N, P, Q chính là $\sin x_1$, $\sin x_2$, $\sin x_3$, $\sin x_4$. Tính $\sin x_1$, $\sin x_2$, $\sin x_3$, $\sin x_4$. Từ đó so sánh các giá trị này.

Lời giải chi tiết:

a)

 $\begin{array}{c}{x}_1=\frac{\pi }{6}\Rightarrow \sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}\\ x_2=\frac{\pi }{3}\Rightarrow \sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \Rightarrow \sin x_1<\sin x_2\end{array}$

b)

$\begin{array}{c}{x}_3=\frac{2\pi }{3}\Rightarrow \sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ x_4=\frac{5\pi }{6}\Rightarrow \sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow \sin x_3>\sin x_4\end{array}$

Luyện tập 7

a) Dựa vào đồ thị hàm số $y=\sin x$, xác định tất cả các giá trị của $x\in \left[-3\pi ;3\pi \right]$ sao cho $\sin x=0$.

b) Xác định các khoảng nghịch biến của hàm số $y=\sin x$ trên đoạn $\left[-3\pi ;3\pi \right]$.

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị hàm số $y=\sin x$.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào đồ thị hàm số $y=\sin x$ trên đoạn $x\in \left[-3\pi ;3\pi \right]$, ta có $\sin x=0$ khi $x\in \left\{-3\pi ;-2\pi ;-\pi ;0;\pi ;2\pi ;3\pi \right\}$.

b) Các khoảng nghịch biến của hàm số $y=\sin x$ trên đoạn $\left[-3\pi ;3\pi \right]$ là $\left(-3\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right),\left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right),\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right),\left(\frac{3\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right)$.

Hoạt động 8

Xét các số thực x_1, x₂ sao cho $0<x_1<x_2<\pi$. Gọi M và N lần lượt là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo x₁ rad và x₂ rad. Hãy so sánh hoành độ của M và N, từ đó so sánh $\cos x_1$ và $\cos x_2$.

Phương pháp giải:

Lấy x_1, x₂ bất kì thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Hoành độ của các điểm M, N chính là $\cos x_1,\cos x_2$. Tính $\cos x_1,\cos x_2$. Từ đó so sánh các giá trị này.

Lấy x_1, x₂ bất kì thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Hoành độ của các điểm M, N chính là $\cos x_1,\cos x_2$. Tính $\cos x_1,\cos x_2$. Từ đó so sánh các giá trị này.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{c}{x}_1=\frac{\pi }{6}\Rightarrow \cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ x_2=\frac{\pi }{4}\Rightarrow \cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \Rightarrow \cos x_1>\cos x_2\end{array}$

Luyện tập 8

a) Dựa vào đồ thị hàm số $y=\cos x$, xác định tất cả các giá trị của $x\in \left[-3\pi ;3\pi \right]$ sao cho $\cos x=-1$.

b) Xác định các khoảng nghịch biến của hàm số $y=\cos x$ trên đoạn $\left[-3\pi ;3\pi \right]$.

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị hàm số $y=\cos x$.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào đồ thị hàm số $y=\cos x$, tất cả các giá trị của $x\in \left[-3\pi ;3\pi \right]$ sao cho $\cos x=-1$ là $-3\pi ,-\pi ,\pi ,3\pi$.

b) Các khoảng nghịch biến của hàm số $y=\cos x$ trên đoạn $\left[-3\pi ;3\pi \right]$ là $\left(-2\pi ;-\pi \right),\left(0;\pi \right),\left(2\pi ;3\pi \right)$.

Vận dụng 2

Giả sử nhiệt độ bên trong một ngôi nhà sau t giờ kể từ 12 giờ trưa, gọi là $T\left(t\right)$, được tính bởi công thức: $T\left(t\right)=5\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi t}{6}\right)+25\left({}^{0}C\right)$, $0\le t\le 24$.

a) Tìm nhiệt độ bên trong ngôi nhà lúc 12 giờ trưa, 6 giờ tối, 12 giờ đêm theo công thức trên.

b) Theo công thức trên, nhiệt độ cao nhất bên trong ngôi nhà là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

a) t giờ được tính kể từ 12 giờ trưa nên t lúc 12 giờ trưa bằng 0, lúc 6 giờ tối bằng 6, lúc 12 giờ đêm bằng 12. Thay t = 0, 6, 12 lần lượt vào công thức.

b) Dựa vào $\cos a\le 1\forall a$ để lập luận.

Lời giải chi tiết:

a) $T\left(0\right)=5\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi .0}{6}\right)+25=25\left({}^{0}C\right)$

$T\left(6\right)=5\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi .6}{6}\right)+25=25\left({}^{0}C\right)$

$T\left(12\right)=5\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi .12}{6}\right)+25=25\left({}^{0}C\right)$

Vậy nhiệt độ bên trong ngôi nhà lúc 12 giờ trưa, 6 giờ tối, 12 giờ đêm đều là ${25}^{0}C$.

b)

$\begin{array}{c}\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi .12}{6}\right)\le 1\forall t\\ \iff 5\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi .12}{6}\right)\le 5\forall t\\ \iff \cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi .12}{6}\right)+25\le 30\forall t\end{array}$

Vậy nhiệt độ cao nhất trong nhà là ${30}^{0}C$.

Hoạt động 9

a) Chép lại và hoàn thành bảng sau:

b) So sánh $\tan \frac{\pi }{6},\tan \frac{\pi }{4}$ và $\tan \frac{\pi }{3}$.

Phương pháp giải:

Thay $x=\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}$ vào $\tan x$ để tính rồi so sánh.

Lời giải chi tiết:

a)

b) $\tan \frac{\pi }{6}<\tan \frac{\pi }{4}<\tan \frac{\pi }{3}$.

Luyện tập 9

Xác định các khoảng đồng biến của hàm số $y=\tan x$ trên $\left(-\frac{3\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)\setminus \left\{-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right\}$.

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị hàm số $y=\tan x$.

Lời giải chi tiết:

Khoảng đồng biến của hàm số $y=\tan x$ trên $\left(-\frac{3\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)\setminus \left\{-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right\}$ là $\left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right),\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right),\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$.

Hoạt động 10

a) Chép lại và hoàn thành bảng sau:

b) So sánh các giá trị của trong bảng trên.

Phương pháp giải:

Thay $x=\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2},\frac{2\pi }{3},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{6}$ vào $\cot x$ để tính rồi so sánh.

Lời giải chi tiết:

a)

b) $\cot \frac{\pi }{6}>\cot \frac{\pi }{4}>\cot \frac{\pi }{3}>\cot \frac{2\pi }{3}>\cot \frac{3\pi }{4}>\cot \frac{5\pi }{6}$

Luyện tập 10

Xác định các khoảng nghịch biến của hàm số $y=\cot x$ trên $\left(-2\pi ;2\pi \right)\setminus \left\{-\pi ;0;\pi \right\}$.

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị hàm số $y=\cot x$.

Lời giải chi tiết:

Các khoảng nghịch biến của hàm số $y=\cot x$ trên $\left(-2\pi ;2\pi \right)\setminus \left\{-\pi ;0;\pi \right\}$ là $\left(-2\pi ;-\pi \right),\left(-\pi ,0\right),\left(0;\pi \right),\left(\pi ;2\pi \right)$.