Giải mục 3 trang 26, 27, 28, 29, 30 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Hoạt động 7

a) Xét các số thực x_1,x₂, sao cho $0 < x_{1} < x_{2} < \frac{π}{2}$ . Gọi M và N lần lượt là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo x₁ rad và x₂ rad. Hãy so sánh tung độ của M và N, từ đó so sánh $\sin x_{1}$ và $\sin x_{2}$ .

b) Xét các số thực x₃, x₄, sao cho $\frac{π}{2} < x_{1} < x_{2} < π$ . Gọi P và Q lần lượt là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo x₃rad và x₄ rad. Hãy so sánh tung độ của P và Q, từ đó so sánh $\sin x_{3}$ và $\sin x_{4}$ .

Phương pháp giải:

Lấy x_1,x₂ và x₃, x₄bất kì thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Tung độ của các điểm M, N, P, Q chính là $\sin x_{1}$ , $\sin x_{2}$ , $\sin x_{3}$ , $\sin x_{4}$ . Tính $\sin x_{1}$ , $\sin x_{2}$ , $\sin x_{3}$ , $\sin x_{4}$ . Từ đó so sánh các giá trị này.

Lời giải chi tiết:

a)

$\begin{array}{l} x_{1} = \frac{π}{6} \Rightarrow \sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2} \\ x_{2} = \frac{π}{3} \Rightarrow \sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow \sin x_{1} < \sin x_{2} \end{array}$

b)

$\begin{array}{l} x_{3} = \frac{2 π}{3} \Rightarrow \sin \frac{2 π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ x_{4} = \frac{5 π}{6} \Rightarrow \sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \sin x_{3} > \sin x_{4} \end{array}$

Luyện tập 7

a) Dựa vào đồ thị hàm số $y = \sin x$ , xác định tất cả các giá trị của $x \in [- 3 π; 3 π]$ sao cho $\sin x = 0$ .

b) Xác định các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $[- 3 π; 3 π]$ .

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị hàm số $y = \sin x$ .

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào đồ thị hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $x \in [- 3 π; 3 π]$ , ta có $\sin x = 0$ khi $x \in {- 3 π; - 2 π; - π; 0; π; 2 π; 3 π}$ .

b) Các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $[- 3 π; 3 π]$ là $(- 3 π; - \frac{5 π}{2}), (- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2}), (\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}), (\frac{3 π}{2}; \frac{5 π}{2})$ .

Hoạt động 8

Xét các số thực x_1,x₂ sao cho $0 < x_{1} < x_{2} < π$ . Gọi M và N lần lượt là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo x₁ rad và x₂ rad. Hãy so sánh hoành độ của M và N, từ đó so sánh $\cos x_{1}$ và $\cos x_{2}$ .

Phương pháp giải:

Lấy x_1,x₂ bất kì thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Hoành độ của các điểm M, N chính là $\cos x_{1}, \cos x_{2}$ . Tính $\cos x_{1}, \cos x_{2}$ . Từ đó so sánh các giá trị này.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} x_{1} = \frac{π}{6} \Rightarrow \cos \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ x_{2} = \frac{π}{4} \Rightarrow \cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow \cos x_{1} > \cos x_{2} \end{array}$

Luyện tập 8

a) Dựa vào đồ thị hàm số $y = \cos x$ , xác định tất cả các giá trị của $x \in [- 3 π; 3 π]$ sao cho $\cos x = - 1$ .

b) Xác định các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $[- 3 π; 3 π]$ .

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị hàm số $y = \cos x$ .

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào đồ thị hàm số $y = \cos x$ , tất cả các giá trị của $x \in [- 3 π; 3 π]$ sao cho $\cos x = - 1$ là $- 3 π, - π, π, 3 π$ .

b) Các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $[- 3 π; 3 π]$ là $(- 2 π; - π), (0; π), (2 π; 3 π)$ .

Vận dụng 2

Giả sử nhiệt độ bên trong một ngôi nhà sau t giờ kể từ 12 giờ trưa, gọi là $T (t)$ , được tính bởi công thức: $T (t) = 5 \cos (\frac{π}{2} - \frac{π t}{6}) + 25 (^{0} C)$ , $0 \leq t \leq 24$ .

a) Tìm nhiệt độ bên trong ngôi nhà lúc 12 giờ trưa, 6 giờ tối, 12 giờ đêm theo công thức trên.

b) Theo công thức trên, nhiệt độ cao nhất bên trong ngôi nhà là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

a) t giờ được tính kể từ 12 giờ trưa nên t lúc 12 giờ trưa bằng 0, lúc 6 giờ tối bằng 6, lúc 12 giờ đêm bằng 12. Thay t = 0, 6, 12 lần lượt vào công thức.

b) Dựa vào $\cos a \leq 1 \forall a$ để lập luận.

Lời giải chi tiết:

a) $T (0) = 5 \cos (\frac{π}{2} - \frac{π .0}{6}) + 25 = 25 (^{0} C)$

$T (6) = 5 \cos (\frac{π}{2} - \frac{π .6}{6}) + 25 = 25 (^{0} C)$

$T (12) = 5 \cos (\frac{π}{2} - \frac{π .12}{6}) + 25 = 25 (^{0} C)$

Vậy nhiệt độ bên trong ngôi nhà lúc 12 giờ trưa, 6 giờ tối, 12 giờ đêm đều là $25^{0} C$ .

b)

$\begin{array}{l} \cos (\frac{π}{2} - \frac{π .12}{6}) \leq 1 \forall t \\ \Leftrightarrow 5 \cos (\frac{π}{2} - \frac{π .12}{6}) \leq 5 \forall t \\ \Leftrightarrow \cos (\frac{π}{2} - \frac{π .12}{6}) + 25 \leq 30 \forall t \end{array}$

Vậy nhiệt độ cao nhất trong nhà là $30^{0} C$ .

Hoạt động 9

a) Chép lại và hoàn thành bảng sau:

x	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$
$\tan x$	?	?	?

b) So sánh $\tan \frac{π}{6}, \tan \frac{π}{4}$ và $\tan \frac{π}{3}$ .

Phương pháp giải:

Thay $x = \frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{3}$ vào $\tan x$ để tính rồi so sánh.

Lời giải chi tiết:

a)

x	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$
$\tan x$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$

b) $\tan \frac{π}{6} < \tan \frac{π}{4} < \tan \frac{π}{3}$ .

Luyện tập 9

Xác định các khoảng đồng biến của hàm số $y = \tan x$ trên $(- \frac{3 π}{2}; \frac{3 π}{2}) ∖ {- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}}$ .

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị hàm số $y = \tan x$ .

Lời giải chi tiết:

Khoảng đồng biến của hàm số $y = \tan x$ trên $(- \frac{3 π}{2}; \frac{3 π}{2}) ∖ {- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}}$ là $(- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2}), (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}), (\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ .

Hoạt động 10

a) Chép lại và hoàn thành bảng sau:

b) So sánh các giá trị của trong bảng trên.

Phương pháp giải:

Thay $x = \frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{6}$ vào $\cot x$ để tính rồi so sánh.

Lời giải chi tiết:

a)

b) $\cot \frac{π}{6} > \cot \frac{π}{4} > \cot \frac{π}{3} > \cot \frac{2 π}{3} > \cot \frac{3 π}{4} > \cot \frac{5 π}{6}$

Luyện tập 10

Xác định các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \cot x$ trên $(- 2 π; 2 π) ∖ {- π; 0; π}$ .

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị hàm số $y = \cot x$ .

Lời giải chi tiết:

Các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \cot x$ trên $(- 2 π; 2 π) ∖ {- π; 0; π}$ là $(- 2 π; - π), (- π, 0), (0; π), (π; 2 π)$ .